とりあえず変更

変更前

lambda_client.invoke_async(function_name: function_name, invoke_args: param)

変更後

response = lambda_client.invoke(
    FunctionName=function_name,
    Payload=param,
    InvocationType='Event'
)

なんで非推奨なったのか

ambda関数を非同期で呼び出すための古いAPI
現在は非推奨になっている

コールバックパターンを使用しているため、非同期呼び出しの完了状態を取得する方法が限られている。
invokeAsyncメソッドは、リトライやエラー処理を行うための機能が限定的であり、失敗の発生を検知することができないため、実行中のエラーに対処がむずかしいから

みたいです。

invokeAsyncメソッドの代わりにより高度なエラー処理とリトライ機能を提供する新しいAPIであるinvokeメソッド
同期および非同期呼び出しの両方をサポートしているため、invokeAsyncメソッドの代替として使用することができるみたいです。

なので
invokeAsyncメソッドは非推奨になり、代わりにinvokeメソッドを使用することが推奨されているっぽい

コードのinvocation_type
Eventを指定することで非同期実行= Asyncのかわり
RequestResponseを設定することで同期実行ができるみたいです。

Lambda関数が呼び出しに失敗した場合、AWS SDKのinvokeメソッドは自動的にリトライを試みます。
リトライの回数と間隔は、AWS SDKのデフォルト設定に従いますが、カスタマイズすることもできる

AWS SDKのinvokeメソッドは、Lambda関数がエラーを返した場合に、エラー情報を取得できるようになっている
これにより、呼び出し元のアプリケーションで適切なエラーハンドリングを行うことができる

Lambda関数が実行を完了する前にinvokeメソッドがタイムアウトした場合、AWS SDKは自動的にリトライを試みます。
この場合、SDKのデフォルト設定に従って、最大3回までのリトライする

ただしデフォルトでリトライやエラーハンドリングするみたいな設定もあるので、追加でLambda関数へのリクエストが増えそうなので
そこんとこ注意っぽいです