開発用途でVPC外部から接続可能なDBインスタンスをVPC内に立てようとして以下のエラーがでた。（※あくまで開発用途のためパブリックアクセス可能としている。また接続元IPは特定IPに制限する）

Cannot create a publicly accessible DBInstance. The specified VPC does not support DNS resolution, DNS hostnames, or both. Update the VPC and then try again

調べると、所属するVPCの「DNSホスト名」を「有効化」すると解決できるらしい。
内容としてはドキュメントのここに書いてある内容。

プライベートDNSホスト名

この形式のアドレスのこと。
ip-{private-ipv4-address}.ec2.internal
インスタンスをVPC内に立てると常に割り当てられる。

パブリックDNSホスト名

この形式のアドレスのこと。
ec2-{public-ipv4-address}.compute-1.amazonaws.com
インスタンスをVPC内に立てた時、VPCの設定で「DNSホスト名」と「DNS解決」が有効になっていると割り当てられる。

解決方法

デフォルトでは「DNS解決」のみ有効になっていた。

追加で「DNSホスト名」を有効化。