【制御工学】PID制御とステップ応答の可視化・分析

1 はじめに

前回記事( https://qiita.com/sato235/items/5e006ebbf2949cf59463 )のなかで、制御器を入れた回路にて、ステップ入力とステップ応答の可視化を推奨されたので、今回の記事を作成した。
ゆくゆくは、ロボットの制御系設計に役立てたい。

2 参考文献

2.1 書籍

[1] 南裕樹　著、オーム社、「Pythonによる制御工学入門」

2.2 Webページ

[a] 制御ブロック図: https://tajimarobotics.com/pid-block-diagram-transfer-function/
[b] 【制御工学】Pythonによる伝達関数のグラフ化: https://qiita.com/sato235/items/5e006ebbf2949cf59463
[c] 【制御工学】Pythonによる伝達関数や状態空間モデルの計算: https://qiita.com/sato235/items/f991411074c578d1640c

3 実施内容

3.1 PID制御のブロック図

出典: [a]

上記の「C」が制御器に相当する。
上記のフィードバック制御回路を、伝達関数にし、ステップ入力・応答を可視化する。

3.2 伝達関数

初期値

K=1
Kd=1
Wn=1
Ki=1
ita=1
Kp=1

伝達関数を作成

C=matlab.tf([Kd, Kp, Ki],[1,0])
G=matlab.tf([K*Wn**2],[1,2*ita*Wn, Wn**2])
H=1
print("H")
print(H)
print("------------")
print("C")
print(C)
print("------------")

print("G")
print(G)
print("------------")


CG=matlab.series(C,G)
print("C*G")
print(CG)
print("------------")

CGH= matlab.feedback(CG,H,-1)
print("C*G/(1+C*G*H)")
print(CGH)
print("------------")

出力は以下の通り。

H
1
------------
C

s^2 + s + 1
-----------
     s

------------
G

      1
-------------
s^2 + 2 s + 1

------------
C*G

  s^2 + s + 1
---------------
s^3 + 2 s^2 + s

------------
C*G/(1+C*G*H)

     s^2 + s + 1
---------------------
s^3 + 3 s^2 + 2 s + 1

------------

3.3 ステップ入力・応答

上で作成した伝達関数を用いて、ステップ入力と応答を可視化する。

t = np.linspace(0, 3, 1000)
yout, T = matlab.step(P, t)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1,1,1)
ax.plot(T,yout, label="step response")
ax.plot(T,[1]*1000, linestyle="--", label="step input")
ax.set_xlabel("time[s]")
plt.legend(bbox_to_anchor=(1, 0.25), loc='upper right', borderaxespad=0, fontsize=11)

図にまとめると以下の通り。

4 まとめ

・制御器を入れたフィードバック回路でのステップ応答まで可視化できた。
・次は、安定性の考察や、C,G,Hの関数の係数を変えた場合の挙動の比較などを行いたい。