Juliaで学ぶ確率変数(9) - ベータ分布（連続型）

Juliaで学ぶ確率変数(1) - 確率変数の定義 - Qiita
Juliaで学ぶ確率変数(11) - まとめ - Qiita

　確率変数を勉強中ですが、**「確率統計」（森北出版）は数学的に明確な定義がしっかり書かれているので、これを中心に勉強しています。あわせて「統計学入門」（東京大学出版会）と「確率論入門」（ちくま学芸文庫、赤攝也）**も併読しています。

　本記事は、それらの教科書を読みながら、実際に例題や問題をJuliaで解いていく試みです。Juliaの連続型確率変数のライブラリのドキュメントです。　==>Distributions/Univariate/ContinuousDistributions

#１．ベータ分布Be(α,β)

\begin{align}
\\
\\
&定数 \alpha,\; \beta を\alpha>0,\; \beta>0　とする。\\
\\
&X: \Omega \rightarrow [0,1]　\subset R\\
\\
&確率密度関数f(x)が以下のように書けるとき、Xはベータ分布Be(\alpha,\beta)に従うという。\\
\\
&f(x) =
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{B(\alpha,\beta)} x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1} & (0\leqq x \leqq 1 \;のとき) \\
0 & (それ以外のとき)
\end{array}
\right.\\
\\
\\
&念のため 0\leqq x \leqq 1 の時の定義を大きく書いておきます。\\
&f(x) = \frac{1}{B(\alpha,\beta)} x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}
\\
\\
&ここでB(\alpha,\beta)は解析学でベータ関数と呼ばれるものです。\\
\\
\\
&ここで以下が成り立つ。\\
&E[X] = \frac {\alpha}{\alpha + \beta}\\
&V[X] = \frac {\alpha \beta}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)^2}
\\
&\qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad  \\
\end{align}

##１－１．ベータ関数の定義

\begin{align}
\\
&ベータ関数の定義\\
&x>0,\; y>0の時\\
&B(x,y) =\int_{0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt\\
\\
\\
&ベータ関数の性質\\
&[B1] \; B(x,y) = B(y,x)  \qquad 任意の実数x>0,\;y>0\\
\\
&[B2] \; B(x,y) = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2x-1}\theta \;\; \cos^{2y-1}\theta \;\;d\theta  \qquad  任意の実数x>0,\;y>0\\ 
\\
&[B3] \; B(x,y)=\frac {\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \qquad  任意の実数x>0,\;y>0\\
\\
\\

&\qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad  \\
\end{align}

追加するかもしれませんが、今回は以上です。