Juliaで学ぶ確率変数(1) - 確率変数の定義 - Qiita
１．事象の独立性
\begin{align}
\\
&以下p(E) >0とする。\\
&Eに関するFの相対確率、またはEが起こった時のFの条件付確率の定義\\
&p_E(F) \equiv p(F|E) \equiv \frac {p(E \cap F)}{p(E)}\\
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&以下が成り立つとき、FはEと独立であるという。\\
&p(F) = p_E(F) \qquad \Longleftrightarrow \qquad p(E \cap F) = p(E)p(F)\\
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&この定義より、FがEと独立であるとき、逆にEがFと独立であることが言える。\\
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&*独立性の説明\\
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&n回試行を繰り返したときの根元事象の列。\\
&(a) \qquad a_1, a_2, ..., a_n\\
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&上の(a)の中からEの元を抜き出したもの。\\
&(b) \qquad b_1, b_2, ..., b_r\\
\\
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&上の(b)の中からFの元を抜き出したもの。\\
&(c) \qquad c_1, c_2, ..., c_s\\
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&p(E) = \frac{r}{n} \qquad ... (a)におけるEの相対頻度\\
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&p(E \cap F) = \frac{s}{n} \qquad ... (a)におけるE \cap Fの相対頻度\\
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&\frac{p(E \cap F)}{p(E)} =\frac {s}{r} \qquad ... (a)における、Eに関するFの相対頻度\\
\\
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&*独立性の例\\
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&トランプのカードから以下のものを取り除く\\
&(1)あらゆるK\\
&(2)スペードのA～6\\
&(3)ハートの7～Q\\
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&E :Aのカード全体\\
&E':Qのカード全体\\
&F :赤いカードの全体\\
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&p(F)=18/36=1/2\\
&p(E)=3/36\\
&p(E')=3/36\\
&p(E \cap F) = 2/36\\
&p(E' \cap F) = 1/36\\
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&\frac{p(E) \cap p(F)}{p(E)}=2/3 \neq p(F)\\
&\frac{p(E') \cap p(F)}{p(E')}=1/3 \neq p(F)\\
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&よってFはEと独立ではないし、E'とも独立ではない。\\
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&今度はトランプから(1)(2)(3)を除かないで、カード全体で考える。\\
&E,E',Fに対応する事象を、E_1,E'_1,F_1とする。\\
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&p(F_1)=\frac{p(E_1 \cap F_1)}{p(E_1)}=\frac{p(E'_1 \cap F_1)}{p(E'_1)}=\frac{1}{2}\\
\\
&よってF_1はE_1と独立であり、E'とも独立である。\\
&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\
\end{align}
２．独立性は直感だけでは判断できない例
以下の例から、独立性は直感的に判断できない。つまり直感的な理解は難しいことがわかる。
\begin{align}
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&さいころを2回振る試行を考え、以下のような事象に注目する。\\
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&A:最初に4が出る。\\
&B:和が7である。\\
&C:和が9である。\\
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&AとBは独立であるが、AとCは独立ではない。\\
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&これは以下のことから簡単にわかる。\\
&p(A)=1/6,p(B)=1/6,p(A \cap B)=1/36\\
&つまりp(A)p(B)=p(A \cap B)がなりたつ。\\
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&他方、p(C)=1/9,P(A \cap C)=1/36\\
&つまりp(A)p(C) \neq P(A \cap C)となる。\\
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&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\
\end{align}