対象読者

VS Codeで保存時にオートでFormatterを通したくて設定を一通り終えた人
まだ終えてない人はこちらから→（ https://biomejs.dev/ja/guides/integrate-in-editor/ ）
こういうの出て、「いろいろ設定はしたはずなんだけど……」な時に読んでください

Extension 'Biome' is configured as formatter but it cannot format 'TypeScript JSX'-files

Extension 'Prettier' is configured as formatter but it cannot format 'JSON'-files

間のFormatterとかファイル形式とかは適宜読み替えてください。

結論

VS Codeで開くフォルダを間違えている

どういうこと？

たとえば今、D:\Projects\flamsを開いたワークスペースがあるとします。
npx create-remix@latestでremixのアプリを作ります。（ReactでもNext.jsでも可）

名前をflams-frontpageにしました。
すると、何も考えなければ今開いているフォルダの一つ下の階層にできあがります。

まさしくこれが原因です。
BiomeやPrettierなどのFormatterはワークスペース直下を読みに行くらしく、こんなエラーが出ていました。

Could not resolve Biome in the dependencies of workspace folder: d:\Projects\flams
Searching for Biome in PATH
Extension bundle does not include the prebuilt binary

そりゃ読めませんよね……アプリはその1階層下なので……

ということで、ワークスペースで開くフォルダを変更しましょう。
好きな方法でよいですが、たとえばNew Window→Open Folderなど。

先ほど作ったアプリのフォルダを直接開きに行きます。

うまくいきました。なんという罠でしょうか。

「せっかくVS CodeのDefault Formatterに設定したのになんかぜんぜん通らないんだけど」という人に届いてほしいです。
なんだか「Next.jsでBiome使おうと思ったのにVS Codeで自動フォーマット動かないしPrettierでいいや……」→「あれPrettierも動かないや……」みたいな例があるっぽいので……おれもそうだったので……