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@ryutaatkagawanct(橋本 竜太)

TikZの利用例：合成関数の偏微分法の図式

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Last updated at Posted at 2016-10-13

合成関数の偏微分法

\frac{dz}{dt} =
   \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt}
 + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}

を紹介する図式
output
を TikZ で描く。

\matrixの利用

まずは変数をノードとして配置する。\matrix の利用が便利。

diagram.tex
\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}
\usepackage{tikz}


\begin{document}

\begin{tikzpicture}
\matrix {
                  & \node (x) {$x$}; &                  \\
 \node (t) {$t$}; &                  & \node (z) {$z$}; \\
                  & \node (y) {$y$}; &                  \\
};
\end{tikzpicture}

\end{document}

output

ノードの間隔の設定

矢線をつけてみる。

diagram.tex
\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}
\usepackage{tikz}


\begin{document}

\begin{tikzpicture}
\matrix {
                  & \node (x) {$x$}; &                  \\
 \node (t) {$t$}; &                  & \node (z) {$z$}; \\
                  & \node (y) {$y$}; &                  \\
};
\draw[->] (t) -- (x);
\draw[->] (x) -- (z);
\draw[->] (t) -- (y);
\draw[->] (y) -- (z);
\end{tikzpicture}

\end{document}

output

矢線になっていない。ノードの間隔が狭すぎる。
そこで，\matrix のオプション column sep，row sep によりノードの間隔を適当に設定する。

diagram.tex
\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}
\usepackage{tikz}


\begin{document}

\begin{tikzpicture}
\matrix [column sep=2cm, row sep=7mm] {
                  & \node (x) {$x$}; &                  \\
 \node (t) {$t$}; &                  & \node (z) {$z$}; \\
                  & \node (y) {$y$}; &                  \\
};
\draw[->] (t) -- (x);
\draw[->] (x) -- (z);
\draw[->] (t) -- (y);
\draw[->] (y) -- (z);
\end{tikzpicture}

\end{document}

output

大回りの線を描くtips

$t$ から $z$ への2重矢線を引くために，ノード (y) の下にダミーノード (below y) を用意しよう。

ノード (t |- below y) は，ノード (t) を通る縦線とノード (below y) を通る横線との交点。
ノード (below y -| z) は，ノード (below y) を通る横線とノード (z) を通る縦線との交点。

角を丸くするためにオプション rounded corners を指定。

diagram.tex
\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}
\usepackage{tikz}


\begin{document}

\begin{tikzpicture}
\matrix [column sep=2cm, row sep=7mm] {
                  & \node (x) {$x$}; &                  \\
 \node (t) {$t$}; &                  & \node (z) {$z$}; \\
                  & \node (y) {$y$}; &                  \\
                & \node (below y) {}; &                 \\
};
\draw[->] (t) -- (x);
\draw[->] (x) -- (z);
\draw[->] (t) -- (y);
\draw[->] (y) -- (z);
\draw[->, double, rounded corners]
 (t) -- (t |- below y) -- (below y -| z) -- (z);
\end{tikzpicture}

\end{document}

output

rounded corners のデフォルトは半径 4pt 。気に入らなければ変更可。

diagram.tex
\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}
\usepackage{tikz}


\begin{document}

\begin{tikzpicture}
\matrix [column sep=2cm, row sep=7mm] {
                  & \node (x) {$x$}; &                  \\
 \node (t) {$t$}; &                  & \node (z) {$z$}; \\
                  & \node (y) {$y$}; &                  \\
                & \node (below y) {}; &                 \\
};
\draw[->] (t) -- (x);
\draw[->] (x) -- (z);
\draw[->] (t) -- (y);
\draw[->] (y) -- (z);
\draw[->, double, rounded corners=5mm]
 (t) -- (t |- below y) -- (below y -| z) -- (z);
\end{tikzpicture}

\end{document}

output

矢線にラベルを貼る

(t) から (x) への矢線にラベル $\displaystyle\frac{dx}{dt}$ を貼ってみよう。

diagram.tex
\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}
\usepackage{tikz}


\begin{document}

\begin{tikzpicture}
\matrix [column sep=2cm, row sep=7mm] {
                  & \node (x) {$x$}; &                  \\
 \node (t) {$t$}; &                  & \node (z) {$z$}; \\
                  & \node (y) {$y$}; &                  \\
                & \node (below y) {}; &                 \\
};
\draw[->] (t) -- node {$\displaystyle\frac{dx}{dt}$} (x);
\draw[->] (x) -- (z);
\draw[->] (t) -- (y);
\draw[->] (y) -- (z);
\draw[->, double, rounded corners=5mm]
 (t) -- (t |- below y) -- (below y -| z) -- (z);
\end{tikzpicture}

\end{document}

output

ラベルとなるノードが矢線に乗っかってしまった。
オプション auto を指定すると，TikZ が矢線のどちらかに適当に配置してくれる。

diagram.tex
\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}
\usepackage{tikz}


\begin{document}

\begin{tikzpicture}
\matrix [column sep=2cm, row sep=7mm] {
                  & \node (x) {$x$}; &                  \\
 \node (t) {$t$}; &                  & \node (z) {$z$}; \\
                  & \node (y) {$y$}; &                  \\
                & \node (below y) {}; &                 \\
};
\draw[->] (t) -- node [auto] {$\displaystyle\frac{dx}{dt}$} (x);
\draw[->] (x) -- (z);
\draw[->] (t) -- (y);
\draw[->] (y) -- (z);
\draw[->, double, rounded corners=5mm]
 (t) -- (t |- below y) -- (below y -| z) -- (z);
\end{tikzpicture}

\end{document}

output

他の矢線にも然るべきラベルを貼ってみよう。

diagram.tex
\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}
\usepackage{tikz}


\begin{document}

\begin{tikzpicture}
\matrix [column sep=2cm, row sep=7mm] {
                  & \node (x) {$x$}; &                  \\
 \node (t) {$t$}; &                  & \node (z) {$z$}; \\
                  & \node (y) {$y$}; &                  \\
                & \node (below y) {}; &                 \\
};
\draw[->] (t) -- node [auto] {$\displaystyle\frac{dx}{dt}$} (x);
\draw[->] (x) -- node [auto] {$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}$} (z);
\draw[->] (t) -- node [auto] {$\displaystyle\frac{dy}{dt}$} (y);
\draw[->] (y) -- node [auto] {$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}$} (z);
\draw[->, double, rounded corners=5mm]
 (t) -- (t |- below y)
 -- node [auto] {$\displaystyle\frac{dz}{dt}$}  (below y -| z) -- (z);
\end{tikzpicture}

\end{document}

output

矢線の反対側に入れてほしいと思えば，auto とともにオプション swap を指定する。

diagram.tex
\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}
\usepackage{tikz}


\begin{document}

\begin{tikzpicture}
\matrix [column sep=2cm, row sep=7mm] {
                  & \node (x) {$x$}; &                  \\
 \node (t) {$t$}; &                  & \node (z) {$z$}; \\
                  & \node (y) {$y$}; &                  \\
                & \node (below y) {}; &                 \\
};
\draw[->] (t) -- node [auto] {$\displaystyle\frac{dx}{dt}$} (x);
\draw[->] (x) -- node [auto] {$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}$} (z);
\draw[->] (t) -- node [auto, swap] {$\displaystyle\frac{dy}{dt}$} (y);
\draw[->] (y) -- node [auto, swap] {$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}$} (z);
\draw[->, double, rounded corners=5mm]
 (t) -- (t |- below y)
 -- node [auto, swap] {$\displaystyle\frac{dz}{dt}$}  (below y -| z) -- (z);
\end{tikzpicture}

\end{document}

output

auto オプションをいちいちつけるのであれば，
\begin{tikzpicture} のオプションとして予め指定しておくのが便利かも。

diagram.tex
\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}
\usepackage{tikz}


\begin{document}

\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix [column sep=2cm, row sep=7mm] {
                  & \node (x) {$x$}; &                  \\
 \node (t) {$t$}; &                  & \node (z) {$z$}; \\
                  & \node (y) {$y$}; &                  \\
                & \node (below y) {}; &                 \\
};
\draw[->] (t) -- node {$\displaystyle\frac{dx}{dt}$} (x);
\draw[->] (x) -- node {$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}$} (z);
\draw[->] (t) -- node [swap] {$\displaystyle\frac{dy}{dt}$} (y);
\draw[->] (y) -- node [swap] {$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}$} (z);
\draw[->, double, rounded corners=5mm]
 (t) -- (t |- below y)
 -- node [swap] {$\displaystyle\frac{dz}{dt}$}  (below y -| z) -- (z);
\end{tikzpicture}

\end{document}

output

ラベルは矢線の右側につけることを基本にしたいならば，明示的に auto=right を指定する。

diagram.tex
\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}
\usepackage{tikz}


\begin{document}

\begin{tikzpicture}[auto=right]
\matrix [column sep=2cm, row sep=7mm] {
                  & \node (x) {$x$}; &                  \\
 \node (t) {$t$}; &                  & \node (z) {$z$}; \\
                  & \node (y) {$y$}; &                  \\
                & \node (below y) {}; &                 \\
};
\draw[->] (t) -- node [swap] {$\displaystyle\frac{dx}{dt}$} (x);
\draw[->] (x) -- node [swap] {$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}$} (z);
\draw[->] (t) -- node {$\displaystyle\frac{dy}{dt}$} (y);
\draw[->] (y) -- node {$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}$} (z);
\draw[->, double, rounded corners=5mm]
 (t) -- (t |- below y)
 -- node {$\displaystyle\frac{dz}{dt}$}  (below y -| z) -- (z);
\end{tikzpicture}

\end{document}

output

ひとまず，完成。

あとは好みの問題

  • 矢印の形を stealth にする。
  • 斜めの矢線について，ラベルを矢線に近づけるために inner sep に小さい値を指定。
  • $d$ を立体にするべく，ここでは \mathrm{d} を採用する。
diagram.tex
\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}
\usepackage{tikz}


\begin{document}

\begin{tikzpicture}[auto=right, >=stealth]
\matrix [column sep=2cm, row sep=7mm] {
                  & \node (x) {$x$}; &                  \\
 \node (t) {$t$}; &                  & \node (z) {$z$}; \\
                  & \node (y) {$y$}; &                  \\
                & \node (below y) {}; &                 \\
};
\begin{scope}[inner sep=1pt]
\draw[->] (t) -- node [swap] {$\displaystyle\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$} (x);
\draw[->] (x) -- node [swap] {$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}$} (z);
\draw[->] (t) -- node {$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$} (y);
\draw[->] (y) -- node {$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}$} (z);
\end{scope}
\draw[->, double, rounded corners=5mm]
 (t) -- (t |- below y)
 -- node {$\displaystyle\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$}  (below y -| z) -- (z);
\end{tikzpicture}

\end{document}

output

おしまい。

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