センター数学1A（2019年）をpythonで解いてみた

• 実行環境
  • VirtualBox 5.2.2
  • Cent6.9
  • python3.5.4

第1問

(1)

根号の中の式を取得するのに無理をしました。
場合分けはその範囲内のaを代入して確かめれば十分。

プログラム

# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import *
import math
import numpy as np

def getA(num) :
    if (a_coeff*a-1).subs(a, num) > 0 :
        if (a+2).subs(a, num) > 0 :
            return a_coeff*a-1 + (a+2)
        else :
            return a_coeff*a-1 + (-1) * (a+2)

    else :
        if (a+2).subs(a, num) > 0 :
            return -1*(a_coeff*a-1) + (a+2)
        else :
            return -1*(a_coeff*a-1) + (-1) * (a+2)


a = symbols('a')
f = 9*a**2-6*a+1
print(f.factor())
a_coeff =  np.reciprocal(solve(f, a)[0])

A = getA(1)
print(A)
if solve(A-(2*a+13), a)[0] > 1/3 :
    print("a =", solve(A-(2*a+13), a)[0])

A = getA(-1)
print(A)
if solve(A-(2*a+13), a)[0] >= -2 and solve(A-(2*a+13), a)[0] <= 1/3 :
    print("a =", solve(A-(2*a+13), a)[0])

A = getA(-3)
print(A)
if solve(A-(2*a+13), a)[0] < -2 :
    print("a =", solve(A-(2*a+13), a)[0])

出力

(3*a - 1)**2
4*a + 1
a = 6
-2*a + 3
-4*a - 1
a = -7/3

解答
ア:3、イ:1、ウ:4、エ:1、オ:-
カ:2、キ:3、ク:6、ケ:-、コ:7
サ:3

(2)

命題の解き方を検討中。

(3)

微分が楽ですが、学生時代は平方完成で頑張っていました。
プログラムで平方完成を実現させたいです。

プログラム

# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import *
import math
import numpy as np

x = symbols('x')
a = symbols('a')
b = symbols('b')

f = x**2+(2*a-b)*x+a**2+1
vertex_x = solve(diff(f, x), x)
vertex_y = f.subs(x, vertex_x[0]).expand()
print("頂点のx座標 :", vertex_x)
print("頂点のy座標 :", vertex_y)
g = solve(f.subs(x, -1)-6, b)[0]
vertex_a = solve(diff(g, a), a)
vertex_b = g.subs(a, vertex_a[0])
print("bの最大値 :", vertex_b)
print("そのときのa :", vertex_a)
ff = f.subs(a, vertex_a[0]).subs(b, vertex_b)
vertex_ff_x = solve(diff(ff, x), x)
vertex_ff_y = ff.subs(x, vertex_ff_x[0])
print("ニヌ :", vertex_ff_x)
print("ネノハ :", vertex_ff_y)

出力

頂点のx座標 : [-a + b/2]
頂点のy座標 : a*b - b**2/4 + 1
bの最大値 : 5
そのときのa : [1]
ニヌ : [3/2]
ネノハ : -1/4

解答
チ:2、ツ:4、テ:1、ト:5、ナ:1
ニ:3、ヌ:2、ネ:-、ノ:1、ハ:4

第2問

(1)

プログラム

sqrtが計算されてしますので、分数と根号を分けて出力するようにしました。

# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import *
import math
import numpy as np

x = symbols('x')

ab = 3
bc = 4
ac = 2

cosBAC = (ab**2+ac**2-bc**2)/(2*ab*ac)
print("cosBAC =", cosBAC)

if cosBAC > 0 :
    print("BACは鋭角")
elif cosBAC == 0 :
    print("BACは直角")
else :
    print("BACは鈍角")

reciprocalCosBac = np.reciprocal(cosBAC)
print("オカ :", reciprocalCosBac**2-1)
print("キ :", abs(reciprocalCosBac))
sinBAC = sqrt(1-cosBAC**2)

cosCAD = -1*cosBAC
print("cosCAD =", cosCAD)
ad = np.reciprocal(cosCAD)
print("AD =", ad)
reciprocalCosCad = np.reciprocal(cosCAD)
sinCAD = sqrt(1-cosCAD**2)
ABC = 1/2*ab*ac*1/abs(reciprocalCosBac)
ADC = 1/2*ac*ad*1/abs(reciprocalCosCad)
DBC = ABC + ADC
print("サセ :", DBC)
print("シス :", reciprocalCosBac**2-1)

出力

cosBAC = -0.25
BACは鈍角
オカ : 15.0
キ : 4.0
cosCAD = 0.25
AD = 4.0
サセ : 1.75
シス : 15.0

解答
ア:-、イ:1、ウ:4、エ:2、オ:1
カ:5、キ:4、ク:1、ケ:4、コ:4
サ:7、シ:1、ス:5、セ:4

(2)

(3)

相変わらず統計が苦手です。
学生時代にやっていなかったこともあり、解法検討中です。
ヒストグラムから箱ひげ図を、またはその逆の作成方法を考えています。

第3問

プログラム

# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import *
import math
import numpy as np

redBag = ('red', 'red', 'white')
whiteBag = ('red', 'white')

dice = (1, 2, 3, 4, 5, 6)

cnt = 0
for num in dice :
    if num % 3 == 0 :
        cnt += 1

p_dice_three_times = Rational(cnt, dice.__len__())
p_dice_not_three_times = 1-p_dice_three_times
p_redBag_red = Rational(redBag.count('red'), redBag.__len__())
p_redBag_white = Rational(redBag.count('white'), redBag.__len__())
p_whiteBag_red = Rational(whiteBag.count('red'), whiteBag.__len__())
p_whiteBag_white = Rational(whiteBag.count('white'), whiteBag.__len__())
p_red_red = p_dice_not_three_times * p_redBag_red
p_white_red = p_dice_three_times * p_whiteBag_red
print("アイ :", p_red_red)
print("ウエ :", p_white_red)

p_second_whiteBag = p_dice_not_three_times * p_redBag_white + p_dice_three_times * p_whiteBag_white
print("オカキ :", p_second_whiteBag)

p = symbols('p')

p_second_white = p * p_whiteBag_white + (1-p) * p_redBag_white
print("クケ :", p_second_white)
p_first_white = p_dice_three_times * p_whiteBag_white + p_dice_not_three_times * p_redBag_white
print("コサシスセ :", p_second_white.subs(p, p_first_white))

p_third_white = p_second_white * p_whiteBag_white + (1-p_second_white) * p_redBag_white
print("ソタチツテト :", p_third_white.subs(p, p_first_white))

print("ナニヌネ :", ((p * p_whiteBag_white)/p_second_white).subs(p, p_first_white))
print("ノハヒフヘ :", ((1-p)*p_redBag_red*p_redBag_white/p_third_white).subs(p, p_first_white))

出力

アイ : 4/9
ウエ : 1/6
オカキ : 7/18
クケ : p/6 + 1/3
コサシスセ : 43/108
ソタチツテト : 259/648
ナニヌネ : 21/43
ノハヒフヘ : 88/259

解答
ア:4、イ:9、ウ:1、エ:6、オ:7
カ:1、キ:8、ク:1、ケ:6、コ:4
サ:3、シ:1、ス:0、セ:8、ソ:2
タ:5、チ:9、ツ:6、テ:4、ト:8
ナ:2、ニ:1、ヌ:4、ネ:3、ノ:8
ハ:8、ヒ:2、フ:5、ヘ:9

第4問

49と23は互いに素なのでエオカキは明らか。
連続する3つの数字の1番目と3番目の公約数は1または2。
（1番目が奇数なら1、偶数なら1と2といった具合。）

プログラム

# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import *
import math
from sympy.solvers.inequalities import *
from sympy.solvers.inequalities import solve_univariate_inequality

x = symbols('x')
y = symbols('y')
k = symbols('k')

f = 49*x-23*y-1
num = 1
while true :
    ans = solve(f.subs(x,num),y)[0]
    if float(ans).is_integer():
        break
    num += 1

print("x=", num)
print("y=", ans)

rc_x = 23*k+num
rc_y = 49*k+ans

g = 49*x-23*y+1
tmpNum = 1
while true :
    tmpAns = solve(g.subs(x,tmpNum),y)[0]
    if float(tmpAns).is_integer():
        break
    tmpNum += 1

if tmpNum < num :
    print("ク :", tmpNum)
    print("ケコ :", tmpAns)
    minNum = tmpNum
    minAns = tmpAns
else :
    print("ク :", num)
    print("ケコ :", ans)
    minNum = num
    minAns = ans

h = 49*x-23*y-2
num = 1
while true :
    ans = solve(h.subs(x,num),y)[0]
    if float(ans).is_integer():
        break
    num += 1

i = 49*x-23*y+2
tmpNum = 1
while true :
    tmpAns = solve(i.subs(x,tmpNum),y)[0]
    if float(tmpAns).is_integer():
        break
    tmpNum += 1

if tmpNum < num :
    print("サ :", tmpNum)
    print("シス :", tmpAns)
    num = tmpNum
    ans = tmpAns
else :
    print("サ :", num)
    print("シス :", ans)

a = symbols('a')
j = a*(a+1)*(a+2)
numList = factorint(j.subs(a, 1))
m = 1
for factNum in numList:
    m *= factNum * numList[factNum]
print("m =", m)
factorNum = factorint(6762)
print("6762 =", factorNum)
if 6762 % 49 == 0 and 6762 % 23 == 0 :
    minNumList = [49*23-2, 23*minAns-2, 49*minNum-1, 23*ans-2, 49*num]
    print("b =", min(minNumList))

出力

x= 8
y= 17
ク : 8
ケコ : 17
サ : 7
シス : 15
m = 6
6762 = {23: 1, 2: 1, 3: 1, 7: 2}
b = 343

解答
ア:8、イ:1、ウ:7、エ:2、オ:3
カ:4、キ:9、ク:8、ケ:1、コ:7
サ:7、シ:1、ス:5、セ:2、ソ:6
タ:3、チ:2、ツ:2、テ:3、ト:3
ナ:4、ニ:3

第5問

根号で計算すると小数になる場合があるので、
2乗した数をわざと出している箇所があります。

プログラム

# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import *
import math
from sympy.solvers.inequalities import *
from sympy.solvers.inequalities import solve_univariate_inequality

x = symbols('x')
y = symbols('y')
z = symbols('z')

ab = 4
bc = 7
ac = 5
cosBAC = -1/5
sinBAC = 2*sqrt(6)/5
S = 1/2*4*5*sinBAC
r = 2*S/(ab+bc+ac)
print("r =", r)
f = x+y-ab
g = y+z-bc
h = z+x-ac
print(f+g+h)
ad = solve(f+g+h, x)[0].subs(-y-z, -bc)
print("AD =", ad)
ae = ad
de = sqrt(ad**2+ae**2-2*ad*ae*cosBAC)
print("DE^2 =", de**2)

bd = ab - ad
ce = ac - ae
bq_qd = (bd/ad)*(ae/ce)
print("BQ/CQ =", bq_qd)
cq = solve((x+y-bc).subs(y, bq_qd*x), x)[0]
bq = bc-cq
print("BQ =", bq)
if bd == bq :
    iq = r
    print(iq)
    cosDFE = (ae**2+de**2-ad**2)/(2*ae*de)
    print("cosDFE^2 =", cosDFE**2)
else :
    print("iqは分からない")

出力

r = 0.5*sqrt(6)
2*x + 2*y + 2*z - 16
AD = 1
DE^2 = 2.40000000000000
BQ/CQ = 3/4
BQ = 3
0.5*sqrt(6)
cosDFE^2 = 0.600000000000000

解答
ア:6、イ:2、ウ:1、エ:2、オ:1
カ:5、キ:5、ク:3、ケ:4、コ:3
サ:6、シ:2、ス:1、セ:5、ソ:5