1. 合成関数の微分法

そもそも合成関数とはどのようなものか.
微分を習っていると, 一見解けないように見える問題がある.
例えば, $y=\log(x^2+1)$などである. $\log x$の微分はできるし, $(x^2+1)$の微分だってできるという人は多いだろう. しかし, $y=\log(x^2+1)$の微分と言われたらわからなくなる人もいるだろう.

そこで今回は「合成関数の微分法」と呼ばれるものを紹介する.
今回は$y = \log(x^2+1)$を使って考える.

\begin{align}
  f(x) &= \log(x^2+1)\notag\\
  \frac{d}{dx}f(x) &= \frac{d}{dx}\log(x^2+1)\notag
\end{align}

ここで, $\log(x^2+1)$の微分の仕方について知りたい. このとき, $u = x^2+1$とおいてみると, $\log(u)$となり, $y=f(u)$, すなわち, $y$は$u$の関数となる. また, これだと, $f'(u) = \frac{1}{u}$のようにみなさんが知っている解き方ができる.
それでは, ここからが本題であり, 合成関数の微分の仕方について紹介する.
ここでは主に計算式で説明する. その後に簡単な解説をする.

\begin{align}
  f(u) = \log(u),\;\;u=x^2+1
\end{align}

とおいて,

\begin{align}
  \frac{d}{dx}f(u) = {\color{red}{\frac{d}{dx}\log(u)}} \;\cdots\;\clubsuit_1
\end{align}

ここで, $f(u)$を$x$で微分したいが, $f(u)$は$u$の関数なので, $u$で微分する必要がある.
なので, $\clubsuit_1$の右辺は,

\begin{align}
  \frac{d}{dx}f(u) &= {\color{red}{\frac{d}{du}f(u)\frac{du}{dx}}}\\
  f'(u) &= {\color{red}{\frac{d}{du}f(u)\frac{du}{dx}}} \;\cdots\;\clubsuit_2
\end{align}

と表せる. $\clubsuit_2$の右辺を見ると, 分数のように考えることができ, 左辺と一致することがわかる.
また, このように合成関数の微分を行うと, $u$の関数の微分と$u$に置き換えた$x$の関数の微分が出てくる. それらを掛け合わせる.
語呂合わせとしては, 「そのまま微分$\times$中身の微分」である.
よって, 合成関数の微分法の公式は,

$y = f(u), u = g(x)$がいずれも微分可能であるとき,

  \begin{align}
    \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\notag
  \end{align}

これらを理解した上で$\clubsuit_1$の右辺を計算してみよう.

f(u) = \log(u), \;\;u=x^2+1

\begin{align}
  \frac{d}{dx}f(u) &= \frac{d}{dx}\log(u)\notag\\
  y' &= \frac{d}{du}\log(u)\times\frac{d}{dx}u\notag\\
  &= \frac{1}{u}\times(x^2+1)'\notag\\
  &= \frac{1}{x^2+1}\times(2x)\notag\\
  &= \frac{2x}{x^2+1}\notag
\end{align}

よって, この関数$y=f(x)$を微分すると, $\frac{2x}{x^2+1}$を得る.

2. 合成関数の偏微分法

ここでは合成関数の偏微分法について紹介する.
先に公式を紹介して, その後に実際に問題を解き, 解説する.

【合成関数の偏微分法(1)】
$z=f(x,y)$が全微分可能で, $x=x(t)$, $y=y(t)$で微分可能であるとき,

\begin{align}
    \frac{dz}{dt} &= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial z}\frac{dy}{dt} = z_x\frac{dx}{dt}+z_y\frac{dy}{dt}
\end{align}

公式は上記の通りであるが, なぜこのようになるのか簡単に見てみよう.
初めに関数$z=f(x,y)$を$t$で微分したいとする. しかし, $z$は$x$と$y$の関数である.
そこで, 先ほど学習した合成関数の知識を活用する.

\begin{align}
  x = t,\;y = f(x)\notag
\end{align}

とすると, $z = f(t, f(t)) = f(t)$と考えることができ, $z$は$t$の関数と言える.
[1. 合成関数の微分法]でも$x$の関数を$u$の関数として考えることで計算できるようになった. また, 合成関数は「そのまま微分$\times$中身の微分」をする必要があった. これらを考慮すると,

\begin{align}
  \frac{dz}{dt} &= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial z}\frac{dy}{dt}\notag
\end{align}

となり, この公式が導出される. 今回の場合, $z$は$x$と$y$の関数であったため, それぞれの合成関数の偏微分を足す必要がある.

それでは実際に例題を解いてみよう.
【例題1】

\begin{align}
    x=\sin{2t},\;y=\cos{3t}のとき, \frac{dz}{dt}を求めよ.
\end{align}

【解答】

\begin{align}
  \frac{dz}{dt} &= \frac{\partial}{\partial x}z\frac{dx}{dt}+\frac{\partial}{\partial y}z\frac{dy}{dt}\notag\\
  &= z_x\cdot\frac{d}{dx}(\sin{2t})+z_y\cdot\frac{d}{dt}(\cos{3t})\notag\\
  &= 2z_x\cos{2t}-3z_y\sin{3t}\notag
\end{align}

次に, もう一つの合成関数の偏微分について紹介する.

【合成関数の偏微分法(2)】
$z=f(x,y)$が全微分可能で, $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$で偏微分可能であるとき,

\begin{align}
      \frac{\partial z}{\partial u} &= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial z}\frac{\partial y}{\partial u}
      = z_x\frac{\partial x}{\partial u}+z_y\frac{\partial y}{\partial u}\\
      \frac{\partial z}{\partial v} &= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial z}\frac{\partial y}{\partial v}
      = z_x\frac{\partial x}{\partial v}+z_y\frac{\partial y}{\partial v}
    \end{align}

先程と違うのは, $x, y$がそれぞれ2変数の関数になっているということ.
なぜこのような偏微分の合成関数があるのかというと,
関数$f(x,y,z)$があるとき, $x=u,　y=v,　z=g(x,y)$とすると,

\begin{align}
  x=u,\;y=v,\;z=g(u,v)
\end{align}

と考えることができるため, 関数$f$は$u$と$v$の関数であるといえる.
すなわち, 関数$f(u,v)$を偏微分することで値を求められる.

それでは実際に次の例題を解いてみよう.
【例題2】

z=x^2+y^2,\;x=3u+2v,\;y=2u-vのとき, \frac{\partial z}{\partial u}と\frac{\partial z}{\partial v}を求めよ.

【解答】

$\frac{\partial z}{\partial u}$を求める.

\begin{align}
    \frac{\partial z}{\partial u} &= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}\notag\\
    &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2)\frac{\partial}{\partial u}(3u+2v)+\frac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2)\frac{\partial}{\partial u}(2u-v)\notag\\
    &= (2x)(3)+(2y)(2)\notag\\
    &= 6x+4y\notag\\
    &= 6(3u+2v)+4(2u-v)\notag\\
    &= 18u+12v+8u-4v\notag\\
    &= 26u+8v\notag
  \end{align}

$\frac{\partial z}{\partial v}$を求める.

\begin{align}
    \frac{\partial z}{\partial v} &= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}\notag\\
    &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2)\frac{\partial}{\partial v}(3u+2v)+\frac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2)\frac{\partial}{\partial v}(2u-v)\notag\\
    &= (2x)(2)+(2y)(-1)\notag\\
    &= 4x-2y\notag\\
    &= 4(3u+2v)-2(2u-v)\notag\\
    &= 12u+8v-4u+2v\notag\\
    &= 8u+10v\notag
  \end{align}

このように2変数の場合は2種類の答えを得る.