ロマサガRS SSキャラドロップ率の信頼区間

ツイッター情報の数値を再計算検証するとともに、区間推定のやり方をメモしておく。

SSキャラドロップ率の話

ロマサガ　リユニバース（以下、ロマサガRS。ソシャゲ）ではリュートなどのSSランクキャラクターがドロップする。
19’8月頃のバージョンアップでドロップするようになったが、自分はサッパリ落ちなくて萎えている..

ネット上でも落ちなくて萎えてる人たちから、すぐ落ちたぜ？みたいな人までいて偏りが見られる。また、ドロップ率は公式公開されておらず、実際どの程度のドロップ率なのかは有志達の検証待ち状態。周回が辛いので様子見していたが、ついに検証結果をまとめてくれる猛者が現れた　→twitter検証者のツイート

以下、ツイートを抜粋

合計周回数　　　　3,200回
合計ドロップ数　     31体
平均ドロップ率　   0.97%

結果、ドロップ率は
99％信頼区間では0.52%～1.41%
95％信頼区間では0.63%～1.31%
となりました。

ツイ主は「統計を勉強中だから間違ってたらゴメン」と言ってるので、
周回結果は信用することにして、信頼区間について再計算を行う。

信頼区間の考え方

点推定と区間推定の話の詳細は以下参照。
https://to-kei.net/basic/glossary/statistical-estimation/

実験結果の平均（ドロップ率の平均）から、真のドロップ率も同じ値だと推定することを点推定という。ただ、母集団においてどの程度信頼できるかわからないため、点推定の値がどの程度の信頼度か推定する事を区間推定と言う。

つまり猛者のツイ主は以下のように言っている。

• 実験から得られた平均ドロップ率は0.97%だった
• だからきっと真のドロップ率も0.97%くらいだよ
• 100回中99回のドロップ率は0.52%～1.41%になるよ

t分布を使用した区間推定

t分布の詳細は以下参照。
https://bellcurve.jp/statistics/course/8968.html

t分布は自由度（つまり標本データ数。ここでは周回数）によって分布が変わるが、自由度=30程度でだいたい標準正規分布と一致する（私見だけど）。今回は自由度=3200のため、t分布は標準正規分布に一致するとみなす。また、母集団（真のドロップ率）はたぶん乱数制御なので正規分布だろうと想像できることと、標本数が十分多いことからt分布を使用した区間推定で問題ないと考える。

信頼区間95%, 99%の臨界値はそれぞれ以下のように表せる。

• P[-2.0<T<2.0]=0.95
• P[-2.6<T<2.6]=0.99

2.0, 2.6の値の拾い方

下記の標準正規分布表から値を拾った。
https://www.koka.ac.jp/morigiwa/sjs/standard_normal_distribution.htm
表は縦軸がZ値の小数点1桁目、横軸がZ値の小数点2桁目を表しているが、値を拾うときは小数点1桁目の部分のみ参照した（つまり、めんどくさいので一番左の列だけ見た）。表のセル値は片側の面積を表しており、2倍して95%(99%)を超えるZ値を拾った。

具体的には、(行, 列)=(2.0，0)= .4772 なので、0.4772*2＝0.9544 となるため、Z=2.0を採用、という流れ。

T値について

T値は不偏標準分散を使って算出する。
$\begin{aligned}
T &= \frac{(m−μ)}{SE}　　・・・(1) \\
&(m:標本平均, μ:母平均, SE:標準誤差)
\end{aligned}$

標準誤差SEは下式であらわされる。ここでの標準誤差は不偏標準偏差を用いるためσではなくuと表現した。
$\begin{aligned}
SE &=\sqrt{\frac{u^2}{n}} = \frac{u}{\sqrt{n}}　　・・・(2) \\
&(u: 不偏標準偏差)
\end{aligned}$

(1)式、(2)式より
$T = \frac{(m−μ)}{u/\sqrt{n}}　　・・・(3)$

信頼区間の算出式

以上より、95%区間を例にすると(A)式となる。
$\begin{aligned}
P[-2.0<T<2.0] &= P[-2.0 < (m-μ)/(u/√n) < 2.0] \\
&= P[m-2.0(u/√n) < μ < m+2.0(u/√n)]　…(A)
\end{aligned}$

値の計算

• 標本平均
  $m = 31/3200 = 0.0096875$

• $Σ(x_i-m)^2$の計算
  何度か同じ計算が出てくるため、別途計算しておく。
  $x_i=1$は31回,　$x_i=0$は(3200-31)回発生しているため、下式で計算した。
  $\begin{aligned}
  Σ(x_i-m)^2 &= (1-0.0096875)^231 + (0-0.0096875)^2(3200-32) \\
  &= 30.6996875
  \end{aligned}$

• 標本分散
  $\begin{aligned}
  s^2 &= 1/nΣ(x_i-m)^2 \\
  &= 1/320030.6996875 \\
  &= 0.00959365234375‬... \\
  　 &≒ 0.00959
  \end{aligned}$

• 標準偏差
  $s = \sqrt(s^2) ≒ 0.0980$

• 不偏分散
  $\begin{aligned}
  u^2 &= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-m)^2}　　(n:標本数, x_i:標本データ)　\\
  &= 1/(3200-1)*Σ(xi-m)^2 \\
  &= 0.009596651297280... \\
  &≒ 0.00960
  \end{aligned}$

• 不偏標準偏差
  $u=\sqrt{u^2}= 0.0980$

• 標準誤差
  $\begin{aligned}
  u/√n &= 0.0980/√3200 \\
  &= 0.00173241... \\
  &≒ 0.00173
  \end{aligned}$

信頼区間95%の場合、(A)式に代入して計算すると

$\begin{aligned}
P[-2.0<T<2.0] &= P[m-2.0(u/√n) < μ < m+2.0(u/√n)] \\
&= P[0.0096875-2.0(0.00173) < μ < 0.0096875+2.0(0.00173)] \\
&= P[0.0062275 < μ < 0.0131475]
\end{aligned}$

μは母平均（つまり、真のドロップ率）を表しているので、100倍して確率表記すると
0.62% < μ < 1.31% となる。

信頼区間99%の場合、同様に
$\begin{aligned}
P[-2.6<T<2.6] &= P[m-2.6(u/√n) < μ < m+2.6(u/√n)] \\
&= P[0.0096875-2.6(0.00173) < μ < 0.0096875+2.6(0.00173)] \\
&= P[0.0051895 < μ < 0.0141855]
\end{aligned}$

結論

よって信頼区間は以下のようになり、ツイ主の結果と一致した。

* 平均確率： 0.97%
* 95%信頼区間: 0.62% ～ 1.31%
* 99%信頼区間: 0.52% ～ 1.42%

ドロップ確率は0.5～1.4%(＝1/71～1/200）くらいなので
パチンコで考えると、開店と同時に甘デジ打ち始めて10回転できたわぁ！みたいなときもあれば
1000回近くハマって死にそうになることがあるって感覚かな。萎える..