ファンクターについて勉強したことの整理

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この表記は、私見・感想です。

Functor 型クラス

ファンクターとは、関数で写せる(写像、map over) できるもののことをいう。例えば、リスト、Maybe、木がファンクターとなる。つまり、ある型aから別の型bへの関数 と ある型aに適用されたファンクター値 を引数にとり、 別の型bに適用されたファンクター値 を返すもののことをファンクターという。

また、ファンクターは文脈を持った値だ とみなすこともできる。Maybe 値は「計算が失敗したかもしれない」という文脈、リストは「複数の値を同時に取るかもしれない」という文脈。この時、fmap はこの文脈を維持したまま、内部の値に対して、関数を適用してくれる（後述）。

Functor型クラス定義

class Functor (f :: * -> *) where
  fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

ある型を Functor のインスタンスにしたければ、fmap ただひとつ実装すれば良い（追記）のではなく、ファンクター則を守る必要がある。ファンクター則とは、基本的な振る舞いが他のファンクターと一致することを保証するためにプログラマが遵守すべきルール。

ファンクターのインスタンス

Maybe や、リスト、Either a などがそれに当たる。

Maybeのインスタンス定義

instance Functor Maybe where
fmap f (Just x) = Just (f x)
fmap f Nothing = Nothing

リストのインスタンス定義

instance Functor [] where
fmap = map

Either/aのインスタンス定義

instance Functor (Either a) where
fmap f (Left a) = Left a
fmap f (Right a) = Right (f a)

木のインスタンス定義

instance Functor Tree where
fmap f EmptyTree = EmptyTree
fmap f (Node a left right) = 
        Node (f a) (fmap f left) (fmap f right)

-- 値が再帰的な二分木構造になるかもしれない文脈
data Tree a = EmptyTree
            | Node {value::a,  left::(Tree a), right::(Tree a)} deriving (Show)

自作の木( 型引数が String )について、fmapを適用してみると次のように出力される。

*Main> fmap ("this is " ++) (Node "test" EmptyTree EmptyTree)
Node {value = "this is test", left = EmptyTree, right = EmptyTree}

fmap の役割

ファンクターは、文脈の持った値であり、それは箱（に入った値）のようなものと表現することもできる。fmap は、この文脈（≒ 箱）を保ったまま、引数に取った関数を中の値に適用することができる。

「複数の値を同時に取るかもしれない」文脈を保ったまま、中の値に関数が適用される。

Prelude> :t fmap
fmap :: Functor f => (a -> b) -> f a -> f b

Prelude> fmap (++ " world!") ["Hello", "Good-by"]
["Hello world!","Good-by world!"]

fmap と関数合成

ある1引数関数の型を表す際、アロー演算子を用いてa -> b のように書く。この演算子は中置演算子だが、(->) a b と表すこともできる。この時、(-> a) もファンクターとなる。ここでの文脈は、 型 a の値を適用すると、値が返ってくる となる。
fmap :: Functor f => (a -> b) -> f a -> f b のf を (-> r) で置き換えてみると、

fmap :: (a -> b) -> ((->)r ) a -> ((->) r b)

(->) を中置演算子として書き直すと

fmap :: (a -> b) -> (r -> a) -> (r -> b)

となる。fmap の実装を見てみると、

fmap f g = (.)
-- or
fmap f g = (\x = f (g x))

であり、これは関数合成そのものとなる。

関数合成は、文脈を保って中の値に関数を適用するファンクターの一種、ということが言える。

fmap のまとめ

fmap とは、２つの観点で説明することができる。

1. 関数とファンクター値を取って、その関数でファンクター値を写してから返す(fmap :: (a->b) -> f a -> f b)
2. 値から値への関数を取って、ファンクター値からファンクター値への関数を返す(fmap :: (a->b) -> (f a -> f b))

特に、2番目の観点でファンクターを捉える時、fmap することを 関数の持ち上げ(lifting) と呼ぶ。