7.1 方向データの確率分布

方向データとは

長さ1に規格化されたM次元ベクトル。方向だけに情報がある。

$M(x|\mu, \kappa) = \frac{\kappa^{M/2-1}}{(2\pi)^{M/2}I_{M/2-1}(\kappa)} exp(\kappa\mu^{T}x)$

分布のパラメータのうち、平均方向をデータから推定する。（集中度$\kappa$は直接求めない。）

$L(\mu, \kappa|D) = ln\Pi_{n=1}^{N}c_{M}(\kappa)exp(\kappa\mu^Tx^{(n)}) = \sum_{n=1}^{N}(lnc_{M}(\kappa) + \kappa\mu^Tx^{(n)})$

尤度$L$を最大化する平均方向ベクトル$\mu$を求める。

拘束条件 $\mu^T\mu = 1$をラグランジュ係数で取り込んでを解くと

$\hat{\mu} = \frac{m}{\sqrt{m^Tm}}$

$ m \equiv \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x^{(n)}$

結果は、データ平均ベクトルを長さ1に規格化したもの

データ$x'$の異常度

$a(x') = 1- μ^Tx'$

平均方向ベクトル$\mu$との距離を、内積を用いて表現。

結論：異常度$a$の確率分布はχ二乗分布となる

$M(\mu, \kappa)$に従う$x'$がある時、異常度$a$の分布は

$p(a) = \int_{S_M}dx\delta(a-(1-\mu^Tx)) C_M(\kappa)exp(\kappa\mu^Tx)$

$u=\cos\theta_1$を用いて置換積分し、$a\ll1$を用いると

$p(a)\propto a^{(M-1)/2-1}exp(-\kappa a)$

これは、自由度$M-1$, スケール因子$1/2\kappa$のχ二乗分布

χ二乗分布のパラメータ $m, s$を、データから推定する。

$m, s$のχ二乗分布の1次・2次モーメントは

$<a> = \int_0^{\infty}a\chi^2(a|m,s)da = ms$

$<a^2> = \int_0^{\infty}a^2\chi^2(a|m,s)da = m(m+2)s^2 $

データから求めた以下のaの1次・2次モーメントをこれらと等置して、$m, s$を求める

$<a> = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}a^{(n)}$

$<a^2> = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}a^{(n)^2}$

求めた$\hat{m}_{mo}$は一般にMよりも小さい事が多く、データの有効次元と解釈できる。