準備

mkdir sinatra && cd sinatra

各種ファイルの用意

app.rb

require 'sinatra'
get '/' do
  'Hello Docker'
end

config.ru

require './app.rb'
run Sinatra::Application

Gemfile

source 'http://rubygems.org'
gem 'sinatra'
gem 'foreman'
gem 'thin'

Procfile

web: bundle exec rackup config.ru -p 4567 -s thin -o 0.0.0.0

Dockerfile

FROM rneuo/docker-centos-base
MAINTAINER rneuo

RUN useradd --create-home -s /bin/bash webapp
RUN echo -n 'webapp:webapp' | chpasswd

ADD Gemfile /home/webapp/
ADD app.rb /home/webapp/
ADD config.ru /home/webapp/
ADD Procfile /home/webapp/
RUN chown -R webapp /home/webapp

USER webapp
WORKDIR /home/webapp
RUN bundle install --path vendor/bundle

VOLUME ["/var/log"]
EXPOSE 4567
CMD bundle exec foreman start -d . -p 4567

rubyのインストールとかはベースのDockerイメージでやっています。
- rneuo/docker-centos-base

Dockerrun.aws.json

{
  "AWSEBDockerrunVersion": "1",
  "Image": {
    "Name": "sinatra",
    "Update": "true"
  },
  "Ports": [
    {
      "ContainerPort": "4567"
    }
  ],
  "Logging": "/var/log/"
}

コミット & プッシュ

git init 
git add .
git commit -a -m "add sinatra"
git aws.push