時間に依存しない1次元のシュレーディンガー方程式
$
H \psi (x) = E \psi(x) \tag{1}
$
ハミルトニアン$H$：
$
H = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} +U(x) \tag{2}
$
$(1)$と$(2)$をまとめると、
$
(- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + U(x)) \psi (x) = E \psi(x) \tag{3}
$
条件： 無限に深い井戸型ポテンシャル
V(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
0 & |x| < a \\
\infty & |x| \geq a
\end{array}
\right.
ポテンシャルの値によって、
$
(a)井戸の外 |x| \geq a, V= \infty
$
$
(b) 井戸の中, |x| < a, V=0
$
の2つに場合分けして問題を解く。
(a)井戸の外
$U$が$\infty$の時、$E$は定数だから、シュレーディンガー方程式が成り立つのは
$
\psi(x)=0
$
の時。
(b)井戸の中
シュレーディンガー方程式を解きやすい微分方程式の形に変形
シュレーディンガー方程式$(3)$において、$V=0$となるから、
$
- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) = E \psi(x) \tag{4}
$
$
\Longleftrightarrow
\frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = - \frac{2mE}{\hbar^2} \psi(x) \tag{5}
$
ここで、$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\tag{6}$とおく。
すると、$(5)$は、つぎのように書き換えられる。
$
\frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = - k^2 \psi(x) \tag{7}
$
kの条件
ただし、$E>0$より、$k>0 \tag{8}$である。
波動関数を三角関数で表す
$
\psi(x) = A \sin{kx} + B \cos{kx} \tag{9}
$
波動関数に連続性を課す
波動関数に対して、以下の条件を課す。
$
\psi(a) = 0 \tag{10}
$$\psi(-a) = 0 \tag{11}
$
波動関数の連続性の条件から、波動関数を解く
$(9)$と$(10)$より、
$
A \sin{ka} + B \cos{ka} = 0 \tag{12}
$
$
A \sin{-ka} + B \cos{-ka} = 0 \tag{13}
$
$(12)$, $(13)$より、
$
A \sin{ka} = 0 \tag{14}
$
$
B \cos{ka} = 0 \tag{15}
$
A=0とB=0が同時に成り立たないことを確認
$A=0$かつ$B=0$とすると、$(9)$において
$\psi(x)=0$となり、矛盾。
したがって、$A=0$と$B=0$は同時に成り立たない。
よって、$(14)$, $(15)$より、$A=0$と$B=0$のそれぞれで場合分けする。
(i) A=0のとき
$(15)$において、$B\neq0$だから、
$\cos(ka)=0$
$ka=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots\tag{16}$
$(9)$と$(16)$より、波動関数は
$
\psi(x) = B \cos(\frac{(2n-1)\pi}{2a}x) \tag{17}
$
$n$は自然数。
(ii) B=0のとき
$(14)$において、$A\neq0$だから、
$\sin(ka)=0$
$ka=\pi, 2\pi, 3\pi, \dots\tag{18}$
$(9)$と$(18)$より、
$
\psi(x) = A \sin(\frac{2n\pi}{2a}x) \tag{19}
$
量子数nの導入
$(17), (19)$をまとめると
\psi_n(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
A \sin(\frac{n\pi}{2a}x) & n = 2, 4, 6, \dots \\
B \cos(\frac{n\pi}{2a}x) & n = 1, 3, 5, \dots
\end{array}
\right.
\tag{20}
規格化を行い、係数A, Bを求める
規格化の条件：
\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2 dx = 1 \tag{21}
(i)$n = 1, 3, 5, \dots$のとき
$(20), (21)$
\int_{-\infty}^{\infty}|B \cos(\frac{n\pi}{2a}x)|^2 dx = 1\tag{22}
(22)の左辺＝|B|^2 \int_{-\infty}^{\infty} \cos^2(\frac{n\pi}{2a}x) dx\\
= |B|^2 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1+\cos(\frac{n\pi}{a}x)}{2} dx\\
= \frac{|B|^2}{2} [x+\frac {a}{n\pi}\sin(\frac {n\pi}{a}x)]_{-\infty}^{\infty}\\
=|B|^2 a =1
したがって、
$B = \sqrt{\frac{1}{a}} \tag{23}$
(ii)$n = 2, 4, 6, \dots$のとき
(i)と同様に、
$A = \sqrt{\frac{1}{a}} \tag{24}$
$(23), (24)$の結果より、
\psi_n(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
\sqrt{\frac{1}{a}} \sin(\frac{n\pi}{2a}x) & n = 2, 4, 6, \dots \\
\sqrt{\frac{1}{a}} \cos(\frac{n\pi}{2a}x) & n = 1, 3, 5, \dots
\end{array}
\right.
\tag{25}
(a), (b)の結果をまとめると、
\psi_n(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
\sqrt{\frac{1}{a}} \sin(\frac{n\pi}{2a}x) & (n = 2, 4, 6, \dots) & |x| < a \\
\sqrt{\frac{1}{a}} \cos(\frac{n\pi}{2a}x) & (n = 1, 3, 5, \dots) & |x| < a \\
0 & & |x| \geq a
\end{array}
\right.
\tag{25}
エネルギーEと量子数nの関係を導く
$(16), (18)$をまとめると、
$ka=\frac{n\pi}{2} \Longleftrightarrow k=\frac{n\pi}{2a} \tag{26}$
$(6), (26)$より、
$E_n = \frac{\hbar^2}{2m}(\frac{n\pi}{2a})^2=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{8ma^2} \tag{27}$
波動関数の解釈
$(25)$で波動関数が得られた。これについてどう解釈すればよいのか？
量子化数とゼロ点エネルギー
(25), (27)で、$n=1$とすると、
$
\psi_1(x)=\sqrt{\frac{1}{a}} \cos(\frac{\pi}{2a}x)
$
$E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{8ma^2}
$
このように、エネルギー固有値が一番低い値でもゼロにはならない。これは、井戸型ポテンシャル中の粒子は、エネルギーがゼロにならないことを示している。
粒子の存在確率
まず、波動関数の絶対値の2乗は粒子の存在確率を表す。
|\psi_n(x)|^2=
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{a} \sin^2(\frac{n\pi}{2a}x) & n = 2, 4, 6, \dots \\
\frac{1}{a} \cos^2(\frac{n\pi}{2a}x) & n = 1, 3, 5, \dots
\end{array}
\right.
\tag{28}