Application.persistentDataPath はiOSの場合に、Documentsディレクトリを指すため、Info.plistのUIFileSharingEnabledをtrueにしてあげれば良い。

MyPostprocessBuild.cs

using UnityEngine;
using UnityEditor;
using UnityEditor.iOS.Xcode;

// クラス名、ファイル名は適宜変更してください
public class MyPostprocessBuild
{
    [PostProcessBuild]
    public static void OnPostprocessBuild(BuildTarget target, string path)
    {
        if (target == BuildTarget.iOS)
        {
            var plistPath = Path.Combine(pathToBuiltProject, "Info.plist");
            var plist = new PlistDocument();
            plist.ReadFromFile(plistPath);

            // Application supports iTunes file sharing
            plist.root.SetBoolean("UIFileSharingEnabled", Debug.isDebugBuild);

            plist.WriteToFile(plistPath);
        }
    }
}