2007 神戸大・文理（後)
さいころを n 回投げたとき、出た目の数が3種類になる確率を求めよ。
の強化です。クーポンコレクター問題の親戚。
題意
- Aさんがa個のさいころとBさんがb個のさいころを振ったとき, AさんとBさんで1つも同じ目が出る確率を求めよ
- 例えば[1,1,3]と[2,3,4]なら3が出ているのでOK。[1,2,3]と[6,6,6]なら同じ目がないのでNG
こう考えた
記事の下のリンクを読みます。$n$回さいころを振って$r$種類の目出る確率$f(n,r)$は以下のように示せます。
(頭に紹介した大学の入試ではr=3の時のみ問っていました)
$$ f(n,r) = \frac{{}_6 C_r}{6^n} \cdot \sum _{i=1} ^{r} (-1)^{r-i} \cdot i^n \cdot {}_n C _{r} $$
このとき、求める確率$p$は以下のようになります。
$$ p = f(a,5) \cdot (1 - (\frac{1}{6})^b) + \
f(a,4) \cdot (1 - (\frac{2}{6})^b) + ... \
f(a,1) \cdot (1 - (\frac{5}{6})^b)
$$
class DisjointDiceValues:
def getProbability(self, a,b):
# 組み合わせ
def nCr(n, r):
import math
# nCrのr>nは組み合わせが存在しないので0を返す
# raiseすべきのこともあるかも
if r > n:
return 0
return math.factorial(n) // ((math.factorial(n - r) * math.factorial(r)))
def do(n, r): # n回降ってr種類出る数
res = (1.0 / 6.0 ** (n*1.0)) * nCr(6.0, r)
tmp = 0
for i in range(r + 1):
tmp += ((-1) ** (r - i)) * float(nCr(r, i)) * float((i ** n))
return res * tmp
res = 0
res += (do(a, 6)) * (1 - (0 / 6.0) ** b)
res += (do(a, 5)) * (1 - (1 / 6.0) ** b)
res += (do(a, 4)) * (1 - (2 / 6.0) ** b)
res += (do(a, 3)) * (1 - (3 / 6.0) ** b)
res += (do(a, 2)) * (1 - (4 / 6.0) ** b)
res += (do(a, 1)) * (1 - (5 / 6.0) ** b)
res += (do(a, 0)) * (1 - (6 / 6.0) ** b)
print(res)
return(res)
link
サイコロの目が3種類になる確率
n個のサイコロの目がk種類になる確率