[Python]緯度経度から2地点間の距離と方位角を計算する

はじめに

A地点とB地点の緯度経度から距離と方位角を計算する方法について調べてみました。

地球は完全な球体ではなく赤道半径が6378.137km、極半径が6356.752kmで楕円体に近い形のため、
複雑な計算が必要になってきます。

色々調べた中でも、Vincenty法 は非常に高い精度で計算できるようです。

作ってみた

# -*- coding: utf-8 -*-
from math import *

# 楕円体
ELLIPSOID_GRS80 = 1 # GRS80
ELLIPSOID_WGS84 = 2 # WGS84

# 楕円体ごとの長軸半径と扁平率
GEODETIC_DATUM = {
    ELLIPSOID_GRS80: [
        6378137.0,         # [GRS80]長軸半径
        1 / 298.257222101, # [GRS80]扁平率
    ],
    ELLIPSOID_WGS84: [
        6378137.0,         # [WGS84]長軸半径
        1 / 298.257223563, # [WGS84]扁平率
    ],
}

# 反復計算の上限回数
ITERATION_LIMIT = 1000

'''
Vincenty法(逆解法)
2地点の座標(緯度経度)から、距離と方位角を計算する
:param lat1: 始点の緯度
:param lon1: 始点の経度
:param lat2: 終点の緯度
:param lon2: 終点の経度
:param ellipsoid: 楕円体
:return: 距離と方位角
'''
def vincenty_inverse(lat1, lon1, lat2, lon2, ellipsoid=None):

    # 差異が無ければ0.0を返す
    if isclose(lat1, lat2) and isclose(lon1, lon2):
        return {
            'distance': 0.0,
            'azimuth1': 0.0,
            'azimuth2': 0.0,
        }

    # 計算時に必要な長軸半径(a)と扁平率(ƒ)を定数から取得し、短軸半径(b)を算出する
    # 楕円体が未指定の場合はGRS80の値を用いる
    a, ƒ = GEODETIC_DATUM.get(ellipsoid, GEODETIC_DATUM.get(ELLIPSOID_GRS80))
    b = (1 - ƒ) * a

    φ1 = radians(lat1)
    φ2 = radians(lat2)
    λ1 = radians(lon1)
    λ2 = radians(lon2)

    # 更成緯度(補助球上の緯度)
    U1 = atan((1 - ƒ) * tan(φ1))
    U2 = atan((1 - ƒ) * tan(φ2))

    sinU1 = sin(U1)
    sinU2 = sin(U2)
    cosU1 = cos(U1)
    cosU2 = cos(U2)

    # 2点間の経度差
    L = λ2 - λ1

    # λをLで初期化
    λ = L

    # 以下の計算をλが収束するまで反復する
    # 地点によっては収束しないことがあり得るため、反復回数に上限を設ける
    for i in range(ITERATION_LIMIT):
        sinλ = sin(λ)
        cosλ = cos(λ)
        sinσ = sqrt((cosU2 * sinλ) ** 2 + (cosU1 * sinU2 - sinU1 * cosU2 * cosλ) ** 2)
        cosσ = sinU1 * sinU2 + cosU1 * cosU2 * cosλ
        σ = atan2(sinσ, cosσ)
        sinα = cosU1 * cosU2 * sinλ / sinσ
        cos2α = 1 - sinα ** 2
        cos2σm = cosσ - 2 * sinU1 * sinU2 / cos2α
        C = ƒ / 16 * cos2α * (4 + ƒ * (4 - 3 * cos2α))
        λʹ = λ
        λ = L + (1 - C) * ƒ * sinα * (σ + C * sinσ * (cos2σm + C * cosσ * (-1 + 2 * cos2σm ** 2)))

        # 偏差が.000000000001以下ならbreak
        if abs(λ - λʹ) <= 1e-12:
            break
    else:
        # 計算が収束しなかった場合はNoneを返す
        return None

    # λが所望の精度まで収束したら以下の計算を行う
    u2 = cos2α * (a ** 2 - b ** 2) / (b ** 2)
    A = 1 + u2 / 16384 * (4096 + u2 * (-768 + u2 * (320 - 175 * u2)))
    B = u2 / 1024 * (256 + u2 * (-128 + u2 * (74 - 47 * u2)))
    Δσ = B * sinσ * (cos2σm + B / 4 * (cosσ * (-1 + 2 * cos2σm ** 2) - B / 6 * cos2σm * (-3 + 4 * sinσ ** 2) * (-3 + 4 * cos2σm ** 2)))

    # 2点間の楕円体上の距離
    s = b * A * (σ - Δσ)

    # 各点における方位角
    α1 = atan2(cosU2 * sinλ, cosU1 * sinU2 - sinU1 * cosU2 * cosλ)
    α2 = atan2(cosU1 * sinλ, -sinU1 * cosU2 + cosU1 * sinU2 * cosλ) + pi

    if α1 < 0:
        α1 = α1 + pi * 2

    return {
        'distance': s,           # 距離
        'azimuth1': degrees(α1), # 方位角(始点→終点)
        'azimuth2': degrees(α2), # 方位角(終点→始点)
    }

上のソースコードの中で GRS80 と WGS84 という言葉が出てきますが、
これらは、ある地点が地球のどの地点かを緯度経度で表す際の基準のことです。
GRS80 は国際測地学協会などによって策定され、世界で最もよく使われています。
WGS84 はアメリカ国防省によって策定され、GPSなどで使われています。

試してみた

作った関数で実際に距離と方位角を求めてみました。

lat1 = 24.288472   # 南鳥島の緯度
lon1 = 153.9707894 # 南鳥島の経度
lat2 = 24.4559224  # 与那国島の緯度
lon2 = 122.9187629 # 与那国島の経度

result = vincenty_inverse(lat1, lon1, lat2, lon2, 1)

print('距離：%s(m)' % round(result['distance'], 3))
print('方位角(始点→終点)：%s' % result['azimuth1'])
print('方位角(終点→始点)：%s' % result['azimuth2'])

日本の最東端「南鳥島」と最西端「与那国島」でやってみたところ、
以下の結果になりました。

距離：3143771.967(m)
方位角(始点→終点)：276.8697566783211
方位角(終点→始点)：83.78819273912048

国土地理院の 距離と方位角を計算するサービス でも同じ値でやってみたところ、
以下の結果になりました。

距離：3143771.967(m)
方位角(始点→終点)：276.869755555556
方位角(終点→始点)：83.7881916666667

両方の結果を比較してみると、ごくわずかな違いしかないですね。
これだけの精度があれば、十分実用に耐えられそうです。

おわりに

Vincenty法 には、
始点の座標と終点の座標から距離と方位角を求める 逆解法 と、
始点の座標、距離、方位角から終点の座標と方位角を求める 順解法 があります。

今回私が参考にしたのは 逆解法 の方ですが、
順解法 についてもまた気が向いたら書いてみようかなと思います記事を書きましたので、
よければ こちら もどうぞ。