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@qwer123123

MOSFETと小信号等価回路

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✅ 1. パラメータ定義

記号 意味 単位
$W_1, L_1$ NMOS M1 のチャネル幅・長さ m
$W_2, L_2$ PMOS M2 のチャネル幅・長さ m
$\mu_n, \mu_p$ キャリア移動度（NMOS/PMOS） m²/Vs
$C_{\text{ox}}$ 酸化膜容量密度 F/m²
$V_{\text{th,n}}, V_{\text{th,p}}$ しきい値電圧（NMOS/PMOS） V
$V_{\text{in}}(t)$ 入力信号（大信号） V
$V_{\text{bias}}, A$ 入力のバイアス電圧・振幅 V
$V_{DD}$ 電源電圧 V

✅ 2. ドレイン電流（NMOS M1）

M1（NMOS）が飽和領域のとき：

$$
I_{D1}(t) = \frac{1}{2} \mu_n C_{\text{ox}} \frac{W_1}{L_1} \left( V_{\text{in}}(t) - V_{\text{th,n}} \right)^2
= \frac{1}{2} k_{n1} \left( V_{\text{bias}} + A \sin(\omega t) - V_{\text{th,n}} \right)^2
$$

ここで：

$$
k_{n1} = \mu_n C_{\text{ox}} \frac{W_1}{L_1}
$$

✅ 3. ドレイン電流（PMOS M2）

M2（PMOS）が飽和領域のとき：

$$
I_{D2}(t) = \frac{1}{2} \mu_p C_{\text{ox}} \frac{W_2}{L_2} \left( V_{SG} - |V_{\text{th,p}}| \right)^2
= \frac{1}{2} k_{p2} \left( V_{DD} - V_{\text{out}}(t) - |V_{\text{th,p}}| \right)^2
$$

ここで：

$$
k_{p2} = \mu_p C_{\text{ox}} \frac{W_2}{L_2}
$$

✅ 4. 出力ノード電流保存（KCL）

$$
I_{D1}(t) = I_{D2}(t)
$$

$$
\Rightarrow \frac{1}{2} k_{n1} \left( V_{\text{bias}} + A \sin(\omega t) - V_{\text{th,n}} \right)^2
= \frac{1}{2} k_{p2} \left( V_{DD} - V_{\text{out}}(t) - |V_{\text{th,p}}| \right)^2
$$

✅ 5. 出力電圧の大信号式（W/L含む）

$$
\boxed{
V_{\text{out}}(t)
= V_{DD} - |V_{\text{th,p}}| - \sqrt{ \frac{k_{n1}}{k_{p2}} } \left( V_{\text{bias}} + A \sin(\omega t) - V_{\text{th,n}} \right)
}
$$

または：

$$
\boxed{
V_{\text{out}}(t)
= V_{DD} - |V_{\text{th,p}}| - \sqrt{ \frac{ \mu_n \frac{W_1}{L_1} }{ \mu_p \frac{W_2}{L_2} } } \cdot \left( V_{\text{bias}} + A \sin(\omega t) - V_{\text{th,n}} \right)
}
$$

✅ なぜ「MOS負荷＋ソース接地回路」は非線形か？

この回路の出力電圧式：

$$
V_{\text{out}}(t)
= V_{DD} - |V_{\text{th,p}}| - \sqrt{ \frac{k_{n1}}{k_{p2}} } \cdot \left( V_{\text{in}}(t) - V_{\text{th,n}} \right)
$$

は、以下の理由から線形性の条件を満たしていません：

✅ 線形システムの定義（2条件）

① 加法性（superposition）：

$$
x_1(t) \rightarrow y_1(t),\quad x_2(t) \rightarrow y_2(t)
\Rightarrow x_1(t) + x_2(t) \rightarrow y_1(t) + y_2(t)
$$

② 斉次性（homogeneity）：

$$
x(t) \rightarrow y(t) \Rightarrow a x(t) \rightarrow a y(t)
$$

✅ この回路の非線形性の正体

  • 出力は入力の1次式ではなく、平方根を含む：

    $$
    V_{\text{out}}(t) \propto - \left( V_{\text{in}}(t) - V_{\text{th}} \right)
    \quad \text{または} \quad
    I_D \propto \left( V_{\text{in}} - V_{\text{th}} \right)^2
    $$

  • このため、加法性も斉次性も破れる。

例（加法性が壊れる）：

$$
V_{\text{in}}(t) = A \sin(\omega_1 t) + B \sin(\omega_2 t)
$$

非線形出力：

$$
V_{\text{out}}(t) \propto -\sqrt{(A \sin(\omega_1 t) + B \sin(\omega_2 t) - V_{th})}
\neq -A \sqrt{\sin(\omega_1 t)} - B \sqrt{\sin(\omega_2 t)}
$$

✅ 電気回路的にも非線形

  • MOSFETの I-V特性自体が非線形（飽和では2次関数、トライオードでは混合項）
  • **トランジスタのgm（利得）**が入力に依存して変化する（Vinに依存）

✅ Step 1：大信号モデルの定義（飽和領域）

NMOS（M1）

$$
I_{D1} = \frac{1}{2} \mu_n C_{\text{ox}} \frac{W_1}{L_1} (V_{GS1} - V_{\text{th,n}})^2
$$

PMOS（M2、負荷）

$$
I_{D2} = \frac{1}{2} \mu_p C_{\text{ox}} \frac{W_2}{L_2} (V_{SG2} - |V_{\text{th,p}}|)^2
$$

✅ Step 2：動作点設定（DCバイアス）

入力電圧：

$$
V_{\text{in}}(t) = V_{\text{bias}} + v_{\text{in}}(t)
$$

動作点で：

  • $V_{GS1,0} = V_{\text{bias}}$
  • 両トランジスタは飽和領域動作と仮定

✅ Step 3：小信号モデル（テイラー展開）

トランスコンダクタンス（NMOS）

$$
g_{m1} = \frac{\partial I_{D1}}{\partial V_{GS1}} = \mu_n C_{\text{ox}} \frac{W_1}{L_1} (V_{\text{bias}} - V_{\text{th,n}})
$$

✅ 出力抵抗 $r_o$：定義と意味

● 定義：

MOSFETの 出力抵抗 $r_o$ とは、ドレイン-ソース間電圧 $V_{DS}$ の微小変化が、ドレイン電流 $I_D$ に与える影響を示す微分抵抗です：

$$
\boxed{
r_o = \left( \frac{\partial I_D}{\partial V_{DS}} \right)^{-1}
}
\quad \text{（一定 ( V_{GS} ) 下）}
$$

✅ 飽和領域におけるドレイン電流（大信号式）

PMOSもNMOSと形式同じで、飽和領域での $I_D$ は：

$$
I_D = \frac{1}{2} \mu_p C_{\text{ox}} \frac{W}{L} (V_{SG} - |V_{\text{th,p}}|)^2 \cdot (1 + \lambda_p V_{SD})
$$

  • $\lambda_p$：チャネル長変調係数（短チャネルで無視できない）
  • $V_{SD}$：ソース–ドレイン間電圧（PMOSでは正方向）
  • この $(1 + \lambda V_{DS})$ の項が微妙に電流を変動させる ⇒ 抵抗成分

✅ 出力抵抗の導出

上式を $V_{SD}$ で微分：

$$
\frac{\partial I_D}{\partial V_{SD}} = \frac{1}{2} \mu_p C_{\text{ox}} \frac{W}{L} (V_{SG} - |V_{\text{th,p}}|)^2 \cdot \lambda_p = I_D \cdot \lambda_p
$$

したがって：

$$
\boxed{
r_o = \left( \frac{\partial I_D}{\partial V_{SD}} \right)^{-1} = \frac{1}{\lambda_p I_D}
}
$$

✅ 物理的意味（チャネル長変調）

  • 飽和領域でも、$V_{DS}$（または $V_{SD}$）が増えるとチャネル長が少し短くなり、ドレイン電流が増加します。
  • この **「チャネル長の変化」**が出力抵抗として現れる。
  • $\lambda \to 0$（理想）は $r_o \to \infty$（理想電流源）

✅ まとめ式（PMOS）

$$
\boxed{
r_{o2} = \frac{1}{\lambda_p I_{D2}} = \frac{1}{\lambda_p \cdot \frac{1}{2} \mu_p C_{\text{ox}} \frac{W_2}{L_2} (V_{SG2} - |V_{\text{th,p}}|)^2}
}
$$

✅ Step 4：小信号等価回路構築

  • 入力：$v_{\text{in}}$
  • 出力：$v_{\text{out}}$
  • 出力ノードには：

$$
R_{\text{out}} = r_{o1} \parallel r_{o2}
$$

ここで、$r_{o1}$ はNMOS出力抵抗（同様に $\frac{1}{\lambda_n I_{D1}}$）

✅ Step 5：小信号出力の導出

$$
v_{\text{out}} = -g_{m1} \cdot v_{\text{in}} \cdot (r_{o1} \parallel r_{o2}) = -g_{m1} \cdot v_{\text{in}} \cdot R_{\text{out}}
$$

✅ $g_m$（トランスコンダクタンス）：入力電圧に対する微分

$$
\boxed{
g_m = \frac{\partial I_D}{\partial V_{GS}} \Bigg|_{\text{bias}}
}
$$

  • 入力電圧 $V_{GS}$ に対して、ドレイン電流 $I_D$ がどれだけ変化するか
  • 入力→出力方向の伝達特性
  • 単位：$\mathrm{S} = \mathrm{A/V}$

✅ $r_o$（出力抵抗）：出力電圧に対する微分

$$
\boxed{
r_o = \left( \frac{\partial I_D}{\partial V_{DS}} \Bigg|_{\text{bias}} \right)^{-1}
}
$$

  • 出力電圧 $V_{DS}$ に対して、ドレイン電流 $I_D$ がどれだけ変化するか
  • 出力端に見える抵抗
  • 単位：$\mathrm{\Omega}$

✅ 図解的に：

      v_in → [g_m] → id → 出力ノード → [r_o] → V_D
                        ↑             ↑
                   微分①：g_m      微分②：r_o⁻¹

✅ まとめ

指標 定義式 微分対象 物理的意味
$g_m$ $\frac{\partial I_D}{\partial V_{GS}}$ 入力電圧 入力電圧による電流の変化量
$r_o$ $\left( \frac{\partial I_D}{\partial V_{DS}} \right)^{-1}$ 出力電圧 出力電圧に対する電流の感度の逆数

✅ Step 6：伝達関数の表現（周波数領域）

$$
\boxed{
H(s) = \frac{V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)} = \frac{-g_{m1} R_{\text{out}}}{1 + s R_{\text{out}} C_L}
}
$$

  • $C_L$：出力に接続された容量（配線容量＋負荷容量など）
  • 時定数 $\tau = R_{\text{out}} C_L$
  • 一次系のローパス特性（極が1つ）

✅ 小信号等価回路の成立条件

① 非線形素子が「連続的微分可能」であること

  • MOSFET のような素子の I-V 特性が連続かつ微分可能である必要がある。

  • 例：

    $$
    I_D = \frac{1}{2} k (V_{GS} - V_{th})^2
    $$

    は $V_{GS} > V_{th}$ で連続・微分可能。

② 動作点（バイアス点）が静的に確定していること

  • 素子に対して DCバイアスが与えられており、その周囲での挙動を考える。

  • このときの電圧・電流が「定常動作点」になる：

    $$
    V_{GS0},\ I_{D0} \Rightarrow \text{動作点}
    $$

③ 入力信号が「微小変動」であること

  • 入力変動 $v_{gs}(t)$ が 十分小さい（≪1Vなど）ことが必要。

  • 1次テイラー展開によって：

    $$
    i_d \approx \left. \frac{dI_D}{dV_{GS}} \right|{V{GS0}} \cdot v_{gs}(t) = g_m \cdot v_{gs}(t)
    $$

  • 非線形項（2次以降）は無視できる。

④ 時間的に急峻な変化がないこと（高周波でないこと）

  • コンデンサやインダクタを含む回路では、高周波成分により非線形性が顕在化するため、
    周波数帯域も小信号条件に影響。

⑤ 回路全体が「線形近似可能な領域」で動作していること

  • MOSFETが飽和領域、あるいは所定の領域に留まっていることが前提。
  • 状態遷移（カットオフ→飽和、など）が起きると小信号モデルは無効。

✅ 成立範囲のイメージ

変数 小信号領域 大信号領域
入力振幅 ≪ 1 V ≫ 1 V
出力波形 近似線形 歪み・非線形
回路モデル 線形回路 非線形微分方程式
利用目的 増幅、伝達関数 遷移、スイッチング

✅ まとめ：小信号等価回路の成立条件（箇条書き）

  • 非線形素子が連続的・微分可能な関数で記述されていること
  • 動作点が定常状態として確定していること（バイアス）
  • 入力が微小（ΔV など）であること
  • 高次項を無視できるほど線形近似が有効な範囲にあること
  • 対象素子が飽和領域など特定の動作モードに固定されていること

✅ モデル設定（例）

パラメータ 記号 値（例） 単位 備考
しきい値電圧 $V_{th,n}$ 0.6 V NMOSの標準的な値（90nm〜180nm世代）
ドレイン–ソース電圧 $V_{DS}$ 1.2 V VDDと近い値（動作電源）
ゲート–ソース電圧 $V_{GS}$ ? V これを求めたい

✅ 飽和条件から逆算

飽和条件：

$$
V_{DS} \geq V_{GS} - V_{th}
\quad \Rightarrow \quad
V_{GS} \leq V_{DS} + V_{th}
$$

値を代入：

$$
V_{GS} \leq 1.2\ \mathrm{V} + 0.6\ \mathrm{V} = \boxed{1.8\ \mathrm{V}}
$$

✅ よく使われるバイアス設定（目安）

設定項目 目安の数値 コメント
$V_{th,n}$ 0.6 V 多くのCMOSで採用
$V_{GS}$ 1.0〜1.6 V 飽和領域に余裕を持って入る
$V_{DS}$ 0.5〜1.2 V VDD電源と抵抗またはPMOS負荷で決まる
$V_{\text{bias}}$ 0.8〜1.2 V バイアス電圧で $V_{GS}$ を決定

✅ まとめ：数値での飽和条件目安

  • $V_{th,n} = 0.6 \ \mathrm{V}$

  • 飽和領域に入れるには：

    $$
    \boxed{
    V_{GS} > 0.6\ \mathrm{V} \quad \text{かつ} \quad V_{GS} \leq V_{DS} + 0.6\ \mathrm{V}
    }
    $$

たとえば：

  • $V_{DS} = 1.0\ \mathrm{V}$ なら $V_{GS} \leq 1.6\ \mathrm{V}$
  • 動作点としては $V_{GS} \approx 1.2\ \mathrm{V}$ などがよく選ばれます
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