Chapter1 数学の基礎事項
・SI組立単位（V, A, Ω, W, F, H, S など）
・接頭語（m, μ, k, M, G）と指数法則
・非SI単位（h, Wh, eV など）
→ 電験の単位換算や指数計算に必須
【SI組立単位】
電験で使う物理量は国際単位系（SI単位系）で表されます。
基本単位（m, kg, s, A, K, mol, cd）から組み立てられた「組立単位」を理解することが重要です。
・電圧 V（ボルト） = W/A = (kg·m²)/(s³·A)
・電流 A（アンペア） = 電気量の流れる速さ
・抵抗 Ω（オーム） = V/A
・電力 W（ワット） = V·A = (kg·m²)/s³
・静電容量 F（ファラド） = C/V = s⁴·A²/(kg·m²)
・インダクタンス H（ヘンリー） = V·s/A
・コンダクタンス S（ジーメンス） = 1/Ω = A/V
これらは電験の計算問題（回路・電力・機械・法規）で必ず使われます。
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【接頭語と指数法則】
大きな数や小さな数を扱いやすくするために接頭語を用います。
接頭語はすべて「10の累乗」と対応します。
・m（ミリ） = 10⁻³
・μ（マイクロ） = 10⁻⁶
・n（ナノ） = 10⁻⁹
・k（キロ） = 10³
・M（メガ） = 10⁶
・G（ギガ） = 10⁹
例：
1 kΩ = 1 × 10³ Ω
10 μF = 10 × 10⁻⁶ F = 1.0 × 10⁻⁵ F
指数法則を組み合わせると計算が容易になります。
基本法則：
a^m × a^n = a^(m+n)
a^m / a^n = a^(m-n)
(a^m)^n = a^(m·n)
例：
10⁻³ × 10⁶ = 10³
10⁻⁶ / 10⁻³ = 10⁻³
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【非SI単位】
電験ではSI以外の単位も頻出します。試験では必ず換算できるようにする必要があります。
・時間 h（時間） = 3600 s
・電力量 Wh（ワット時） = 3600 J
・電力量 kWh = 3.6 × 10⁶ J
・電子ボルト eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J
例題：
1 kWh = 1000 W × 3600 s = 3.6 × 10⁶ J
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【まとめ】
・SI組立単位（V, A, Ω, W, F, H, S）は物理公式に直結する
・接頭語（m, μ, k, M, G）は指数法則と合わせて計算を簡略化
・非SI単位（h, Wh, eV）は必ずJ（ジュール）やsに換算する
→ 電験では「単位換算の正確さ」が得点に直結する
Chapter2 式の計算
【整式の展開と因数分解】
(1) (a+b)² = a² + 2ab + b²
(2) (a-b)² = a² - 2ab + b²
(3) (a+b)(a-b) = a² - b²
(4) x² + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)
(5) ax²+bx+c の解は、x = [-b ± √(b²-4ac)] / (2a)
→ 回路解析で特性方程式を解くときに利用する
整式の展開と因数分解：抵抗回路の例】
(1) (a+b)² = a² + 2ab + b²
例：2つの抵抗値を R₁, R₂ としたとき、(R₁+R₂)² の展開
(R₁+R₂)² = R₁² + 2R₁R₂ + R₂²
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(2) (a-b)² = a² - 2ab + b²
例：差の抵抗値を 2乗する場合
(R₁-R₂)² = R₁² - 2R₁R₂ + R₂²
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(3) (a+b)(a-b) = a² - b²
例：直列抵抗 R₁+R₂ と差 R₁-R₂ の積
(R₁+R₂)(R₁-R₂) = R₁² - R₂²
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(4) x² + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)
例：R を未知抵抗とし、既知抵抗 p, q が並列に接続される場合の関係式を因数分解
R² + (R₁+R₂)R + R₁R₂ = (R+R₁)(R+R₂)
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(5) ax² + bx + c = 0 の解
x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)
例：ブリッジ回路の平衡条件から導かれる二次方程式で、未知抵抗 Rx を求めるときに利用
a(Rx)² + b(Rx) + c = 0
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【分数式の計算】
(1) 基本
1/R = 1/R₁ + 1/R₂
R = (R₁R₂)/(R₁+R₂)
(2) 並列インピーダンス
1/Z = 1/Z₁ + 1/Z₂
Z = (Z₁Z₂)/(Z₁+Z₂)
(3) 通分と約分を用いる
(a/b) + (c/d) = (ad+bc)/(bd)
→ 並列抵抗・並列インピーダンスの合成計算に必須
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【無理式の計算】
(1) √a × √b = √(ab)
(2) √a / √b = √(a/b)
(3) 分母の有理化
1 / (√2 + 1) = (√2 - 1) / ( (√2+1)(√2-1) ) = √2 - 1
→ インピーダンスの大きさ |Z| = √(R²+X²) の計算で必須
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【指数法則と指数関数】
(1) a^m × a^n = a^(m+n)
(2) a^m / a^n = a^(m-n)
(3) (a^m)^n = a^(mn)
(4) a⁰ = 1
(5) a^(-n) = 1/a^n
指数関数 e^x の性質
【1. 指数関数の基本】
・e \approx 2.718… を底とする指数関数を e^x と書く
・常に正の値をとり、x が大きくなると急激に増加、x が負だと 0 に近づく
例：
e⁰ = 1
e¹ ≈ 2.718
e² ≈ 7.389
e⁻¹ ≈ 0.3679
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【2. 計算のルール（指数法則と同じ）】
・e^(a+b) = e^a × e^b
・e^(a-b) = e^a / e^b
・(e^a)^b = e^(ab)
・e⁻ᵃ = 1 / e^a
例：
e³ × e² = e^(3+2) = e⁵
e⁵ / e² = e^(5-2) = e³
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【3. 負の指数と減衰】
・e^(−x) は 1 / e^x なので、x が大きくなると値は 0 に近づく
→ 減衰する現象（時間とともに電圧や電流が小さくなる）を表すのに使われる
例：
e⁻¹ ≈ 0.37
e⁻² ≈ 0.14
e⁻³ ≈ 0.05
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【4. 工学での使い方】
・RC回路の充電
v(t) = V(1 − e^(−t/RC))
（時間が経つと V に近づく）
・RC回路の放電
v(t) = V₀ e^(−t/RC)
（時間が経つと 0 に近づく）
・RL回路の電流
i(t) = (V/R)(1 − e^(−(R/L)t
d/dx (e^x) = e^x
∫ e^x dx = e^x + C
e^(-x) = 1/e^x
応用例：RC回路の過渡応答
v(t) = V(1 - e^(-t/RC))
i(t) = (V/R)e^(-t/RC)
→ 単位換算、接頭語処理、過渡現象解析に必須
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【まとめ】
・展開と因数分解 → 方程式整理
・分数式 → 並列抵抗・インピーダンス
・無理式 → インピーダンスの絶対値 √(R²+X²)
・指数法則と指数関数 → 単位換算と過渡応答
Chapter3 方程式
・一次方程式（オームの法則など）
・二元・三元一次方程式（キルヒホッフ法則による回路網解析）
・二次方程式（共振条件や安定性解析に利用）
【一次方程式（オームの法則など）】
・基本形： ax + b = 0
解： x = -b/a
・オームの法則：
V = IR → I = V/R
・例題：
抵抗 R=50Ω に電圧 V=200V を加えたときの電流 I を求めよ。
I = V/R = 200/50 = 4 A
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【二元・三元一次方程式（キルヒホッフ法則による回路網解析）】
・二元一次方程式の形：
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
・キルヒホッフの法則（KVL, KCL）で連立方程式を立てて解く
・例題（二元一次方程式）：
次の回路で、電流 I₁, I₂ を求めよ。
ループ1： 10 = 4I₁ + 2(I₁ - I₂)
ループ2： 0 = 6I₂ + 2(I₂ - I₁)
整理： 6I₁ - 2I₂ = 10, -2I₁ + 8I₂ = 0
解： I₁=1.67A, I₂=0.42A
・三元一次方程式は、三相回路や節点解析で使用される
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【二次方程式（伝達関数の安定性解析に利用）】
・基本形： ax² + bx + c = 0
解： x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
・制御系の伝達関数 G(s) = N(s)/D(s)
安定性は分母 D(s) の根（極）の符号で判定する
・例題：
ある制御系の伝達関数の分母が
D(s) = s² + 4s + 3
この系の安定性を判定せよ。
解： s² + 4s + 3 = 0
→ s = (-4 ± √(16 - 12)) / 2 = (-4 ± 2)/2
→ s = -1, -3
両方とも負の実数 → 系は安定
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【まとめ】
・一次方程式 → オームの法則、単純な回路計算
・二元・三元一次方程式 → キルヒホッフ法則による回路網解析
・二次方程式 → 伝達関数の極の計算、安定性解析
Chapter4 関数とグラフ
・関数の表し方とグラフ
・一次関数・二次関数
・ピタゴラスの定理（ベクトル計算）
・対数と計算法（dB表現に必須）
→ グラフでの特性理解やdB計算に直結
【関数の表し方とグラフ】
・関数： y = f(x)
・入力 x に対して出力 y が一意に決まる関係を表す
・グラフは x軸とy軸の直交座標平面上に描く
例：
電圧 V と電流 I の関係 → I = V/R（一次関数）
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【一次関数】
・一般式： y = ax + b
a：傾き（増加率）、b：切片
・電気回路応用：オームの法則 I = (1/R)V → 直線グラフ
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【二次関数】
・一般式： y = ax² + bx + c
・頂点： (-b/2a , f(-b/2a))
・判別式 D = b² - 4ac により解の数を判定
・電気回路応用：
RLC共振条件、特性方程式、安定性解析
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【ピタゴラスの定理（ベクトル計算）】
・直角三角形の関係式：
a² + b² = c²
・複素平面での絶対値：
|Z| = √(R² + X²)
例：抵抗 R とリアクタンス X の直列回路インピーダンス
Z = R + jX
|Z| = √(R² + X²)
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【対数と計算法（dB表現に必須）】
・定義： logₐ(b) = c ⇔ a^c = b
・常用対数： log₁₀
・自然対数： ln
【dB表現】
・電圧比： G[dB] = 20 log₁₀(V/Vref)
・電力比： G[dB] = 10 log₁₀(P/Pref)
例：
入力 1V → 出力 0.1V の場合
G = 20 log₁₀(0.1/1) = 20 log₁₀(0.1) = -20 dB
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【まとめ】
・関数とグラフ → 回路の特性を視覚的に理解
・一次関数 → オームの法則など比例関係
・二次関数 → 共振条件や安定性解析
・ピタゴラス → インピーダンス計算に必須
・対数とdB → フィルタ特性、伝達関数の周波数応答
Chapter5 三角関数
・角度とラジアン変換
・三角比とグラフ
・加法定理・倍角公式
・正弦波交流の表し方 v(t)=Vm sin(ωt+φ)
→ 交流回路・フェーザ表現に必須
【角度とラジアン変換】
・角度 θ [rad] = (π/180) × θ[°]
・360° = 2π [rad], 180° = π [rad], 90° = π/2 [rad]
例：30° = π/6 rad, 45° = π/4 rad, 60° = π/3 rad
→ 交流解析では角度をラジアンで扱うのが基本
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【三角比とグラフ】
・三角比定義（直角三角形より）
sinθ = 対辺/斜辺
cosθ = 隣辺/斜辺
tanθ = sinθ/cosθ
・グラフ：
sinθ → 0から始まり周期 2π
cosθ → 1から始まり周期 2π
tanθ → π周期で発散点あり
→ 交流波形や力率 cosθ の計算に必須
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【加法定理・倍角公式】
・加法定理：
sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ
cos(α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ
・倍角公式：
sin2θ = 2sinθ cosθ
cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ
→ 信号処理や高調波解析で使用
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【正弦波交流の表し方】
・瞬時値：
v(t) = Vm sin(ωt + φ)
Vm：最大値
ω = 2πf：角周波数
φ：初期位相
・実効値：
V = Vm / √2
→ 交流電圧・電流の基本表現
→ フェーザ表示： V = V∠φ
Chapter6 ベクトルと複素数
・ベクトルとスカラー
・複素数の加減算、乗除算
・極形式表示 Z=|Z|e^{jθ}
・内積・外積
→ 交流インピーダンス計算、対称座標法、ベクトル図
【ベクトルとスカラー】
・スカラー量：大きさのみを持つ（例：電圧100[V], 抵抗10[Ω], 質量5[kg]）
・ベクトル量：大きさと向きを持つ（例：電流フェーザ I=10∠30°[A], 力, 速度）
→ 電験応用：交流電圧・電流はスカラー値ではなく「ベクトル（フェーザ）」として扱う
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【複素数の加減算】
Z₁ = x₁ + j y₁, Z₂ = x₂ + j y₂
加算：Z₁ + Z₂ = (x₁+x₂) + j(y₁+y₂)
減算：Z₁ - Z₂ = (x₁-x₂) + j(y₁-y₂)
→ フェーザ合成、電圧降下計算に利用
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【複素数の乗除算】
Z₁ = r₁∠θ₁, Z₂ = r₂∠θ₂
乗算：Z₁·Z₂ = (r₁r₂) ∠(θ₁+θ₂)
除算：Z₁/Z₂ = (r₁/r₂) ∠(θ₁-θ₂)
→ インピーダンスと電流比、変圧器の電圧比などに利用
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【極形式表示】
Z = R + jX
大きさ：|Z| = √(R²+X²)
偏角：θ = tan⁻¹(X/R)
極形式：Z = |Z| e^{jθ} = |Z|∠θ
→ 電験応用：
直列R-L回路 → Z = R + jωL
直列R-C回路 → Z = R - j/(ωC)
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【内積・外積】
・内積（dot product）
a·b = |a||b|cosθ
→ 有効電力 P = VI cosθ の計算に対応
・外積（cross product）
a×b = |a||b|sinθ n
→ 回転機のトルク T = F×r の計算に対応
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【まとめ】
・スカラー → 電圧値・抵抗値など大きさのみ
・ベクトル → 電流フェーザ・電圧フェーザ
・複素数演算 → 交流回路のインピーダンス計算
・極形式 → Z=|Z|∠θ として位相差を簡単に扱える
・内積 → 電力計算（有効電力・力率）
・外積 → 電気機械のトルク解析
Chapter7 微分・積分と回路の微分方程式
・微分（速度・加速度、回路の過渡応答）
・積分（面積、電荷量計算）
・RC, RL回路の過渡解
→ 過渡現象解析（二次試験頻出）
変化の速さを表す。
・力学：
位置 x(t) → 速度 v(t) = dx/dt
速度 v(t) → 加速度 a(t) = d²x/dt²
・電気回路：
コンデンサ： i(t) = C dv/dt
インダクタ： v(t) = L di/dt
→ 「過渡現象」では必ず登場する基本式
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【積分】
量の累積を表す。
・面積：
S = ∫ f(x) dx
・電気量：
電荷 Q = ∫ i(t) dt
・交流電圧の平均値：
Vavg = (1/T) ∫₀ᵀ v(t) dt
・実効値：
Vrms = √{ (1/T) ∫₀ᵀ [v(t)]² dt }
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【定積分】
積分範囲を指定する場合。
例：指数関数の積分
∫₀^∞ e^(-t/τ) dt = τ
→ 過渡応答のエネルギーや充電量の計算に必須
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【RC回路の過渡解】
R と C を直列に直流電源 V に接続
・微分方程式：
RC dv/dt + v = V
・解（充電時）：
v(t) = V (1 - e^(-t/RC)) …コンデンサ電圧
i(t) = (V/R) e^(-t/RC) …電流
・解（放電時, 初期電圧 V₀）：
v(t) = V₀ e^(-t/RC)
i(t) = -(V₀/R) e^(-t/RC)
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【RL回路の過渡解】
R と L を直列に直流電源 V に接続
・微分方程式：
L di/dt + R i = V
・解（電源投入時）：
i(t) = (V/R)(1 - e^(-(R/L)t)) …電流
vL(t) = V e^(-(R/L)t) …コイル電圧
・解（電源遮断時, 初期電流 I₀）：
i(t) = I₀ e^(-(R/L)t)
vL(t) = -R I₀ e^(-(R/L)t)
Chapter8 伝達関数と周波数応答
・伝達関数 G(s)=Y(s)/X(s)
・周波数応答とボード線図
・ゲイン(dB)と位相特性
→ 制御工学・フィルタ解析
Chapter9 2進法と論理式
・2進数、8進数、16進数変換
・論理代数の基本定理（AND, OR, NOT, NAND, NOR）
・真理値表と論理式の簡単化
→ デジタル回路・制御問題に必須