横軸t 微分積分学

基本の微分（d/dt）

1. d(t^n)/dt = n*t^(n-1)
2. d(e^t)/dt = e^t
3. d(a^t)/dt = a^t*ln(a)
4. d(ln t)/dt = 1/t
5. d(sin t)/dt = cos t
6. d(cos t)/dt = -sin t
7. d(tan t)/dt = sec^2 t
8. d(cot t)/dt = -csc^2 t
9. d(sec t)/dt = sec t * tan t
10. d(csc t)/dt = -csc t * cot t

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合成関数（チェーンルール）

1. d(f(g(t)))/dt = f’(g(t))*g’(t)
2. d(sin(at))/dt = a*cos(at)
3. d(cos(at))/dt = -a*sin(at)
4. d(e^(at))/dt = a*e^(at)
5. d(ln(at))/dt = 1/t

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積分（∫ dt）

1. ∫ t^n dt = t^(n+1)/(n+1) + C (n≠-1)
2. ∫ 1/t dt = ln|t| + C
3. ∫ e^t dt = e^t + C
4. ∫ a^t dt = a^t / ln a + C
5. ∫ sin t dt = -cos t + C
6. ∫ cos t dt = sin t + C
7. ∫ sec^2 t dt = tan t + C
8. ∫ csc^2 t dt = -cot t + C
9. ∫ sec t * tan t dt = sec t + C
10. ∫ csc t * cot t dt = -csc t + C

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定積分（0→T）

1. ∫_0^T t dt = T^2/2
2. ∫_0^T t^2 dt = T^3/3
3. ∫_0^T e^t dt = e^T - 1
4. ∫_0^T sin t dt = 1 - cos T
5. ∫_0^T cos t dt = sin T

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運動の基本（時間 t 秒）

1. v(t) = dx/dt
2. a(t) = dv/dt
3. x(t) = ∫ v(t) dt
4. v(t) = ∫ a(t) dt
5. F(t) = m*a(t)
6. p(t) = m*v(t)
7. W = ∫ F(t)*v(t) dt
8. KE = 1/2 m*v(t)^2
9. P(t) = dW/dt
10. Momentum = ∫ F dt

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指数・対数関数

1. d/dt (e^(kt)) = k e^(kt)
2. ∫ e^(kt) dt = (1/k) e^(kt) + C
3. d/dt (ln(1+t)) = 1/(1+t)
4. ∫ 1/(1+t) dt = ln(1+t)
5. d/dt (a^(bt)) = b*ln(a)*a^(bt)

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三角関数の積分

1. ∫ sin(at) dt = -1/a cos(at) + C
2. ∫ cos(at) dt = 1/a sin(at) + C
3. ∫ tan t dt = -ln|cos t| + C
4. ∫ cot t dt = ln|sin t| + C
5. ∫ sec t dt = ln|sec t + tan t| + C
6. ∫ csc t dt = -ln|csc t + cot t| + C

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双曲線関数

1. d(sinh t)/dt = cosh t
2. d(cosh t)/dt = sinh t
3. d(tanh t)/dt = sech^2 t
4. ∫ sinh t dt = cosh t + C
5. ∫ cosh t dt = sinh t + C

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物理的応用

1. Q(t) = ∫ I(t) dt （電気量）
2. V(t) = L dI/dt （インダクタンス）
3. I(t) = C dV/dt （コンデンサ）
4. Energy = ∫ P(t) dt
5. ω(t) = dθ/dt （角速度）
6. α(t) = dω/dt （角加速度）
7. θ(t) = ∫ ω(t) dt
8. Work = ∫ F(t) dx
9. Impulse = ∫ F(t) dt

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フーリエ系

1. ∫_0^T sin(nωt) dt = (1 - cos(nωT))/(nω)
2. ∫_0^T cos(nωt) dt = sin(nωT)/(nω)
3. d/dt (sin ωt + cos ωt) = ω(cos ωt - sin ωt)
4. Parseval’s theorem (time domain integration)

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高次導関数

1. d^2x/dt^2 = acceleration
2. d^2y/dt^2 = curvature in motion
3. d^3x/dt^3 = jerk
4. d^4x/dt^4 = snap
5. d^5x/dt^5 = crackle
6. d^6x/dt^6 = pop

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ラプラス変換（時間 t 秒）

1. L{1} = 1/s
2. L{t} = 1/s^2
3. L{e^(at)} = 1/(s-a)
4. L{sin at} = a/(s^2 + a^2)
5. L{cos at} = s/(s^2 + a^2)

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確率・統計応用

1. E[X(t)] = ∫ x f(x,t) dx
2. Var[X(t)] = E[X^2] - (E[X])^2
3. ∫_0^∞ e^(-λt) dt = 1/λ

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エネルギー系

1. KE(t) = ∫ F(t)*v(t) dt
2. PE(t) = ∫ F(t) dx
3. E_total = KE + PE
4. Heat Q = ∫ I^2 R dt

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数列・和の極限を微積に

1. lim_{Δt→0} (Δx/Δt) = dx/dt
2. ∑ f(t) Δt → ∫ f(t) dt
3. Average value: (1/T) ∫_0^T f(t) dt

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高校～大学基礎の代表

1. d/dt (f(t)g(t)) = f’g + fg’
2. d/dt (f/g) = (f’g - fg’)/g^2
3. ∫ f’(t)/f(t) dt = ln|f(t)| + C
4. ∫ e^(at)cos(bt) dt = e^(at)(a cos bt + b sin bt)/(a^2+b^2)
5. ∫ e^(at)sin(bt) dt = e^(at)(a sin bt - b cos bt)/(a^2+b^2)

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まとめ（100に調整）

1. Taylor展開: f(t) ≈ f(0) + f’(0)t + f’’(0)t^2/2 + ...
2. Maclaurin: e^t = 1 + t + t^2/2! + ...
3. ∫_0^∞ e^(-at) dt = 1/a
4. δ(t): ∫ δ(t) f(t) dt = f(0)
5. Heaviside H(t): dH/dt = δ(t)

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