🔷 第1章補足：「周波数・周期・角度・ラジアン」の関係
✅ 基本の用語定義
| 用語 | 記号 | 単位 | 意味 |
|---|---|---|---|
| 周期 | $T$ | 秒（s） | 1回の振動にかかる時間 |
| 周波数 | $f$ | Hz（1/s） | 1秒あたりの振動回数（$f = \frac{1}{T}$） |
| 角速度 | $\omega$ | rad/s | 単位時間あたりの角度の変化量 |
| 弧度（ラジアン） | $\theta$ | rad | 半径と同じ長さの弧がつくる中心角を1 radと定義 |
| 度数 | $\theta^\circ$ | 度（°） | $360^\circ = 2\pi$ radと定義 |
✅ 度とラジアンの変換式
$$
\theta , [\mathrm{rad}] = \theta^\circ \times \frac{\pi}{180}
$$
例：
- $90^\circ = \frac{\pi}{2} , \mathrm{rad}$
- $180^\circ = \pi , \mathrm{rad}$
✅ 周波数と角速度の関係
$$
\omega = 2\pi f
$$
- $f$：周波数（Hz）
- $\omega$：角速度（rad/s）
📌 つまり、1秒間に $f$ 回回転する運動は、毎秒 $2\pi f$ ラジアンだけ回るという意味です。
✅ サイン波の式との対応
サイン波は、以下のように表されます：
$$
y(t) = A \sin(2\pi f t + \phi) = A \sin(\omega t + \phi)
$$
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| $A$ | 振幅（最大値） |
| $f$ | 周波数（Hz） |
| $\omega = 2\pi f$ | 角速度（rad/s） |
| $\phi$ | 初期位相（ラジアン） |
✅ 扇形の公式（再掲）
| 量 | 式 |
|---|---|
| 弧の長さ | $l = r\theta$ |
| 面積 | $S = \frac{1}{2}r^2\theta$ |
ここでの $\theta$ はラジアンでなければならない。
🔍 補足：周期・周波数・角速度の関係まとめ
| 項目 | 式 |
|---|---|
| 周期と周波数 | $T = \frac{1}{f}$ |
| 角速度 | $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$ |
| 波の式 | $y(t) = A\sin(\omega t + \phi)$ |
🧠 重要ポイント
- 度数法は日常や測量でよく使われる。
- **弧度法（ラジアン）**は物理・工学・微積分の世界で標準。
- 弧度法では「角度 × 半径 = 弧の長さ」という計算が自然に行える。
📌 まとめ：なぜラジアンが便利か？
| 度数法 | 弧度法（ラジアン） |
|---|---|
| 180°, 360°などで表す | $\pi$, $2\pi$などで表す |
| 足し算・引き算には便利 | 面積・長さ・微分計算に適している |
| 単位が° | 無次元扱い（実際は"rad"） |
| 工学計算では不便（波、振動） | 工学では標準（$\omega = 2\pi f$ 等） |
✅ 第2章：三角関数の定義とグラフ
| 内容 | 詳細 |
|---|---|
| sin, cos, tanの定義 | 単位円上の定義、tanは傾きで理解 |
| グラフと特徴 | 正弦曲線・余弦曲線、値域、周期 |
| tanのグラフ | 漸近線の概念、周期・性質の確認 |
🔷 基本：三角関数 $\sin\theta$ の周期と周波数
✅ 数学的な関数（角度 or ラジアンが変数）
関数：
$$
y = \sin\theta
$$
このとき：
-
変数 $\theta$ は 角度（度）やラジアン の意味（時間ではない）
-
周期：
$$
T = 2\pi \quad \text{（ラジアン）}
$$ -
周波数はこの場合 定義されない（単位時間あたりの振動ではない）
✅ 時間を使う物理波（sin波）の場合
関数：
$$
y(t) = \sin(\omega t)
$$
このとき：
- $t$：時間（秒）
- $\omega$：角周波数（ラジアン毎秒）
✅ 周期と周波数の計算
周期 $T$ は：
$$
T = \frac{2\pi}{\omega}
$$
周波数 $f$ は：
$$
f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}
$$
🔁 逆に「周期が $2\pi$」のときの周波数は？
$$
T = 2\pi \Rightarrow f = \frac{1}{2\pi} \approx 0.1592\ \text{Hz}
$$
つまり：
- この波は「1秒間に 0.1592 回」しか振動しない、非常にゆっくりな波です。
✅ Pythonで確認：周期 $2\pi$ の sin波
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 周波数と角周波数
T = 2 * np.pi
f = 1 / T
omega = 2 * np.pi * f # = 1
# 時間軸（0〜3周期）
t = np.linspace(0, 3 * T, 1000)
y = np.sin(omega * t)
# グラフ表示
plt.plot(t, y)
plt.title("sin(ωt) where T = 2π, f = 1/(2π)")
plt.xlabel("Time t [s]")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.grid(True)
plt.show()
🧠 まとめ
| 項目 | 値 |
|---|---|
| 周期 $T$ | $2\pi$ [s] |
| 周波数 $f$ | $\frac{1}{2\pi} \approx 0.159$ Hz |
| 角周波数 $\omega$ | $1$ rad/s |
✅ 第3章：三角関数の性質
| 内容 | 詳細 |
|---|---|
| 周期性 | $f(\theta + 2\pi n) = f(\theta)$ |
| 奇関数・偶関数 | sin, tanは奇関数、cosは偶関数 |
| 各種公式 | 補角、負角、π加算時の変化など |
✅ 三角関数の周期性とは？
三角関数は**周期関数（periodic function）**です。これは、ある一定の間隔で同じ値を繰り返す関数を意味します。
🔷 周期の定義
関数 $f(\theta)$ が 周期 $T$ を持つとは、任意の $\theta$ に対して
$$
f(\theta + T) = f(\theta)
$$
が成り立つときです。
✅ 各関数の周期
| 関数 | 周期 | 備考 |
|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $2\pi$ | $\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$ |
| $\cos\theta$ | $2\pi$ | $\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta$ |
| $\tan\theta$ | $\pi$ | $\tan(\theta + \pi) = \tan\theta$ |
🔁 周期の例（整数倍）
$$
\sin(\theta + 2\pi n) = \sin\theta \quad \text{for any } n \in \mathbb{Z}
$$
✅ グラフで確認
- $\sin\theta$ や $\cos\theta$ のグラフは 2πごとに繰り返し
- $\tan\theta$ のグラフは πごとに繰り返し
✅ Pythonコードで可視化（sin, cos, tan の周期）
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
theta = np.linspace(-4 * np.pi, 4 * np.pi, 1000)
plt.figure(figsize=(12, 4))
# sin
plt.subplot(1, 3, 1)
plt.plot(theta, np.sin(theta))
plt.title("y = sin(θ)")
plt.xlabel("θ [rad]")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
# cos
plt.subplot(1, 3, 2)
plt.plot(theta, np.cos(theta), color='orange')
plt.title("y = cos(θ)")
plt.xlabel("θ [rad]")
plt.grid(True)
# tan
plt.subplot(1, 3, 3)
plt.plot(theta, np.tan(theta), color='green')
plt.ylim(-10, 10)
plt.title("y = tan(θ)")
plt.xlabel("θ [rad]")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
✅ 第4章：加法定理と応用
| 内容 | 詳細 |
|---|---|
| 加法定理 | sin, cos, tanの加法定理と証明 |
| 2倍角の公式 | $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ など |
| 半角の公式 | $\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{2}$ 等 |
| 合成 | $a\sin\theta + b\cos\theta = r\sin(\theta+\alpha)$ の導出と応用 |
✅ 第5章：三角関数の工学応用（式で理解する）
🔷 1. AM変調（Amplitude Modulation）と2倍角の応用
📘 概要：
AM変調は、搬送波 $\cos(\omega_c t)$ の振幅を、信号波 $m(t)$ によって変調する方式。
🔧 数式：
$$
s(t) = \left[ 1 + m(t) \right] \cos(\omega_c t)
$$
特に $m(t) = A_m \cos(\omega_m t)$ のとき：
$$
s(t) = \cos(\omega_c t) + A_m \cos(\omega_m t)\cos(\omega_c t)
$$
➡ 加法公式で展開：
$$
s(t) = \cos(\omega_c t) + \frac{A_m}{2} \left[ \cos(\omega_c + \omega_m)t + \cos(\omega_c - \omega_m)t \right]
$$
✅ 応用ポイント：
- キャリア周波数 $\omega_c$ と サイドバンド（上側波・下側波） を明確に分離できる。
- フーリエ解析・周波数分離に有効。
🔷 2. 電力計算（平均電力・有効値）と半角公式
📘 概要：
交流（AC）信号の平均電力計算には、平方と平均が不可欠。
🔧 例：電圧 $v(t) = V_0 \sin(\omega t)$
$$
v^2(t) = V_0^2 \sin^2(\omega t)
= V_0^2 \cdot \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2}
$$
→ 時間平均をとると：
$$
\langle v^2(t) \rangle = \frac{V_0^2}{2}
$$
→ 実効値（RMS） は：
$$
V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{V_0^2}{2}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}
$$
✅ 応用ポイント：
- 電気回路の実効電圧・電流計算に半角公式が不可欠。
- パワーエレクトロニクスやオシロスコープ表示でも活躍。
🔷 3. 信号の合成と $r\sin(\theta + \alpha)$ 形式
📘 概要：
次のような複合波形：
$$
s(t) = a\sin(\omega t) + b\cos(\omega t)
$$
を「1つのsin波にまとめる」ことができる。
🔧 合成公式：
$$
s(t) = r\sin(\omega t + \alpha)
$$
ここで：
- $r = \sqrt{a^2 + b^2}$
- $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$
✅ 応用ポイント：
- 位相補償、ベクトル合成、制御系のリファレンス信号作成などで応用。
- ACモーター制御、振動系モデリングなど多くの分野で使われる。
🔷 4. I/Q変調（直交変調：In-phase / Quadrature）
📘 概要：
I/Q変調は搬送波に対して、正弦波と余弦波を使って独立な2系列を送る方式。
🔧 式：
$$
s(t) = I(t)\cos(\omega_c t) + Q(t)\sin(\omega_c t)
$$
ここで：
- $I(t)$：同相成分（In-phase）
- $Q(t)$：直交成分（Quadrature）
✅ 応用ポイント：
- 携帯通信（QAM：直交振幅変調）
- レーダー、ソフトウェア無線（SDR）など多数。
🔷 5. 周波数ミキシングと和差周波数の生成
📘 概要：
2つの異なるsin波を掛け算すると、和周波数・差周波数が出てくる。
🔧 式：
$$
\sin(\omega_1 t) \cdot \sin(\omega_2 t)
= \frac{1}{2} \left[ \cos((\omega_1 - \omega_2)t) - \cos((\omega_1 + \omega_2)t) \right]
$$
✅ 応用ポイント：
- 周波数コンバータ（RFフロントエンド）
- AM/FMラジオの同調機構
✅ 応用まとめ（表形式）
| 応用現象 | 使用式／公式 | 工学分野 |
|---|---|---|
| AM変調 | $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ | 通信（AMラジオ・信号処理） |
| 実効値・電力平均 | $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ | 電力計算、オシロスコープ |
| sin+cosの合成 | $a\sin + b\cos = r\sin(\theta + \alpha)$ | 位相制御、制御工学 |
| I/Q変調 | $I(t)\cos + Q(t)\sin$ | 無線通信、ソフトウェア無線 |
| ミキシング（混合） | $\sin(\omega_1 t)\sin(\omega_2 t)$ | RF変換、周波数変換、多重通信 |
✅ 第5章：和積・積和公式
| 内容 | 詳細 |
|---|---|
| 積→和 | $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$ など |
| 和→積 | $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ 等 |
✅ 第5章：和積・積和公式とその工学応用
🔷 1. 和積・積和公式の一覧（復習）
【積 → 和】
| 形式 | 公式 |
|---|---|
| $\sin \alpha \cos \beta$ | $\frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$ |
| $\cos \alpha \cos \beta$ | $\frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$ |
| $\sin \alpha \sin \beta$ | $\frac{1}{2} [\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$ |
【和 → 積】
| 形式 | 公式 |
|---|---|
| $\sin A + \sin B$ | $2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
| $\sin A - \sin B$ | $2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
| $\cos A + \cos B$ | $2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
| $\cos A - \cos B$ | $-2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
🔧 工学応用と具体例（式ベース）
① 【信号の変調・ミキシング】積 → 和
📘 応用現象：
異なる2つの周波数信号 $\sin(\omega_1 t)$, $\cos(\omega_2 t)$ を掛け算すると、和・差周波数成分が生まれる。
🔧 公式：
$$
\sin(\omega_1 t) \cdot \cos(\omega_2 t)
= \frac{1}{2}[\sin((\omega_1 + \omega_2)t) + \sin((\omega_1 - \omega_2)t)]
$$
🔧 工学的利用：
- ミキサー回路（周波数変換）
- ラジオの周波数同調
- AM通信・信号処理（周波数領域の解析）
② 【干渉・うなり】和 → 積
📘 応用現象：
近い周波数の2つの音波や信号波を加えると、「うなり（周期的な強弱）」が生じる。
🔧 公式：
$$
\sin(\omega_1 t) + \sin(\omega_2 t)
= 2 \sin\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2} t\right)
\cos\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t\right)
$$
🧠 解釈：
- 速く振動する正弦波に、ゆっくり変動する包絡線（振幅）が乗っている。
- 包絡線の周波数：$\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}$ ⇒ これが うなり周波数。
🔧 工学的利用：
- 音響工学（うなりによる音程差の検出）
- 通信工学（周波数のズレ検出・復調）
- 精密計測（差動信号の強調）
③ 【フーリエ級数の変換】積→和・和→積の変換で簡略化
📘 応用現象：
フーリエ解析では積和変換を用いて三角関数の積を和に変換し、積分しやすくする。
🔧 公式使用例：
$$
\int \sin(m\omega t)\cos(n\omega t), dt
\Rightarrow \int \frac{1}{2}[\sin((m+n)\omega t) + \sin((m-n)\omega t)] , dt
$$
🔧 工学的利用：
- フィルタ回路の解析
- 音声・画像信号の分解と処理
- スペクトル分析と不要成分除去
✅ 応用一覧（まとめ）
| 分野 | 使用公式 | 応用内容 |
|---|---|---|
| 通信工学 | $\sin A \cos B$ → 和 | 搬送波と信号波の変調（AM・FM） |
| 音響・振動 | $\sin A + \sin B$ → 積 | うなり現象、音程差検出 |
| 電気回路 | 積和変換 | ミキサ回路、乗算器、直交変調 |
| フーリエ解析 | 和積→積和で積分簡略化 | 三角関数の直交性を利用し、成分抽出・係数算出 |
🧪 Pythonで「うなり現象」を可視化（おまけ）
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
Fs = 10000 # Sampling frequency
t = np.linspace(0, 0.1, Fs)
f1 = 440 # A4音（Hz）
f2 = 442 # 2Hz差 → うなり周波数 = 2Hz
s1 = np.sin(2 * np.pi * f1 * t)
s2 = np.sin(2 * np.pi * f2 * t)
combined = s1 + s2
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(t, combined)
plt.title('Beat phenomenon: sin(440t) + sin(442t)')
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
✅ 第6章：三角関数の応用
| 内容 | 詳細 |
|---|---|
| 波の表現 | 音や振動などをsin波で表現、楽器音との違い |
| フーリエ解析の導入 | 正弦波の重ね合わせ、複雑な波の解析 |
| オイラーの公式 | $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$、$e^{i\pi} + 1 = 0$ |
✅ 目的
次の2階線形微分方程式：
m * d²x/dt² + k * x = 0
を解きます。ただし、初期条件は：
x(0) = x₀
v(0) = v₀ （v(t) = dx/dt）
✅ ステップ 1：式を整理
まず、両辺を m で割って標準形に：
d²x/dt² + (k/m) * x = 0
ここで：
ω² = k/m
と定義すると、方程式は：
d²x/dt² + ω² x = 0
✅ ステップ 2：一般解（1次 ODEではなく2階ODE）
この微分方程式の一般解は：
x(t) = A * cos(ωt) + B * sin(ωt)
（定数 A, B は初期条件から決定）
✅ ステップ 3：速度（1階微分）を求める
v(t) = dx/dt = -Aω * sin(ωt) + Bω * cos(ωt)
✅ ステップ 4：t = 0 を代入して A, B を求める
x(0) = A * cos(0) + B * sin(0) = A
→ A = x₀
v(0) = -Aω * sin(0) + Bω * cos(0) = Bω
→ B = v₀ / ω
✅ ✅ 結論：初期条件付きの解（1次の微分方程式の解法に基づく）
x(t) = x₀ * cos(ωt) + (v₀/ω) * sin(ωt)
これは「2階微分方程式の初期値問題の厳密解」です。
✅ まとめ表（重要）
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 微分方程式 | d²x/dt² + ω²x = 0 |
| 一般解 | x(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) |
| 初期条件 | x(0) = x₀, v(0) = v₀ |
| 特定解（初期付き） | x(t) = x₀ cos(ωt) + (v₀/ω) sin(ωt) |