■ MSB生成回路：基本構成（キャパシタ＋スイッチ＋NOT）
等式：
$$
C_1 (V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2}) = C_1 (V_{\text{th1}} - V_{\text{out}})
$$
整理：
$$
V_{\text{out}} = V_{\text{th1}} - (V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2})
$$
比較による出力ビット：
$$
D_1 =
\begin{cases}
1 & \text{if } V_{\text{out}} > \frac{V_{\text{DD}}}{2} \
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
$$
V_{\text{out}} = V_{\text{th1}} - \left(V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right)
$$
ここに
$$
V_{\text{th1}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2}
$$
を代入します。
式の代入：
$$
V_{\text{out}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2} - \left(V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right)
$$
$$
= \frac{V_{\text{DD}}}{2} - V_{\text{in}} + \frac{V_{\text{DD}}}{2}
$$
$$
= V_{\text{DD}} - V_{\text{in}}
$$
最終整理式：
$$
\boxed{V_{\text{out}} = V_{\text{DD}} - V_{\text{in}}}
$$
これが $V_{\text{th1}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2}$ を代入した後の MSB回路の出力電圧式です。
■ MSB生成回路2：補助キャパシタ付き差動構成
等式（両側の電荷保存）：
$$
C_1 \left(V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2}\right) + \frac{C_1}{4} \left(V_{\text{thN}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right) = C_1 \left(V_{\text{th1}} - V_{\text{out2}}\right) + \frac{C_1}{4} \left(V_{\text{thN1}} - V_{\text{out2}} \right)
$$
了解しました。
以下の等式に：
$$
C_1 \left(V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2}\right) + \frac{C_1}{4} \left(V_{\text{thN}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right) = C_1 \left(V_{\text{th1}} - V_{\text{out2}}\right) + \frac{C_1}{4} \left(V_{\text{thN1}} - V_{\text{out2}} \right)
$$
を展開し、
$$
V_{\text{th1}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2}
$$
を代入して整理します。
ステップ①：両辺を $C_1$ で割る
$$
\left(V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2}\right) + \frac{1}{4} \left(V_{\text{thN}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right) = \left(V_{\text{th1}} - V_{\text{out2}}\right) + \frac{1}{4} \left(V_{\text{thN1}} - V_{\text{out2}} \right)
$$
ステップ②：右辺に $V_{\text{th1}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2}$ を代入
$$
\left(V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2}\right) + \frac{1}{4} \left(V_{\text{thN}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right) = \left(\frac{V_{\text{DD}}}{2} - V_{\text{out2}}\right) + \frac{1}{4} \left(V_{\text{thN1}} - V_{\text{out2}} \right)
$$
ステップ③：右辺の $V_{\text{out2}}$ をまとめる
$$
= \frac{V_{\text{DD}}}{2} - V_{\text{out2}} + \frac{1}{4}V_{\text{thN1}} - \frac{1}{4}V_{\text{out2}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2} + \frac{1}{4}V_{\text{thN1}} - \frac{5}{4}V_{\text{out2}}
$$
ステップ④：左辺もまとめる
$$
= V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} + \frac{1}{4}V_{\text{thN}} - \frac{1}{8}V_{\text{DD}}
= V_{\text{in}} + \frac{1}{4}V_{\text{thN}} - \frac{5}{8}V_{\text{DD}}
$$
ステップ⑤：両辺まとめて書く
$$
V_{\text{in}} + \frac{1}{4}V_{\text{thN}} - \frac{5}{8}V_{\text{DD}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2} + \frac{1}{4}V_{\text{thN1}} - \frac{5}{4}V_{\text{out2}}
$$
ステップ⑥： $V_{\text{out2}}$ について解く
$$
\frac{5}{4}V_{\text{out2}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2} + \frac{1}{4}V_{\text{thN1}} - V_{\text{in}} - \frac{1}{4}V_{\text{thN}} + \frac{5}{8}V_{\text{DD}}
$$
$$
= -V_{\text{in}} + \frac{1}{4}(V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) + \left(\frac{V_{\text{DD}}}{2} + \frac{5}{8}V_{\text{DD}} \right)
$$
$$
= -V_{\text{in}} + \frac{1}{4}(V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) + \frac{9}{8}V_{\text{DD}}
$$
最終式：
$$
\boxed{
V_{\text{out2}} = \frac{4}{5} \left( \frac{9}{8}V_{\text{DD}} - V_{\text{in}} + \frac{1}{4}(V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) \right)
}
$$
左辺：
$$
C_1 \left(V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2}\right) + \frac{C_1}{4} \left(V_{\text{thN}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right)
$$
右辺：
$$
C_1 (V_{\text{th1}} - V_{\text{out2}}) + \frac{C_1}{4} (V_{\text{thN1}} - V_{\text{out2}})
= \left(C_1 + \frac{C_1}{4} \right) V_{\text{th-eff}} - \left(C_1 + \frac{C_1}{4} \right) V_{\text{out2}}
$$
解いた形（Vout₂）：
$$
V_{\text{out2}} = \frac{C_1 V_{\text{th1}} + \frac{C_1}{4} V_{\text{thN1}} - C_1 \left(V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2}\right) - \frac{C_1}{4} \left(V_{\text{thN}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right)}{C_1 + \frac{C_1}{4}}
$$
$$
= \frac{V_{\text{th1}} + \frac{1}{4} V_{\text{thN1}} - \left(V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right) - \frac{1}{4} \left(V_{\text{thN}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right)}{1 + \frac{1}{4}}
$$
$$
= \frac{V_{\text{th1}} + \frac{1}{4} V_{\text{thN1}} - V_{\text{in}} + \frac{V_{\text{DD}}}{2} - \frac{1}{4} V_{\text{thN}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{V_{\text{DD}}}{2}}{1.25}
$$
この結果を元に D₂ を比較電圧（たとえば VDD/2）で判断：
$$
D_2 =
\begin{cases}
1 & \text{if } V_{\text{out2}} > V_{\text{cmp}} \
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
与条件
- $V_{\text{th1}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2}$
■ MSB生成回路（再掲）
既に：
$$
V_{\text{out}} = V_{\text{th1}} - (V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2}) = \frac{V_{\text{DD}}}{2} - (V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2}) = V_{\text{DD}} - V_{\text{in}}
$$
$$
D_1 =
\begin{cases}
1 & \text{if } V_{\text{out}} > \frac{V_{\text{DD}}}{2} \Rightarrow V_{\text{in}} < \frac{V_{\text{DD}}}{2} \
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
■ MSB生成回路2（Vth₁ = VDD/2 を代入後）
前回の整理済み式：
$$
V_{\text{out2}} = \frac{V_{\text{th1}} + \frac{1}{4} V_{\text{thN1}} - V_{\text{in}} + \frac{V_{\text{DD}}}{2} - \frac{1}{4} V_{\text{thN}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{V_{\text{DD}}}{2}}{1.25}
$$
Vth₁ = VDD/2 を代入：
$$
V_{\text{out2}} = \frac{\frac{V_{\text{DD}}}{2} + \frac{1}{4} V_{\text{thN1}} - V_{\text{in}} + \frac{V_{\text{DD}}}{2} - \frac{1}{4} V_{\text{thN}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{V_{\text{DD}}}{2}}{1.25}
$$
分子の整理：
$$
= \frac{V_{\text{DD}} - V_{\text{in}} + \frac{1}{4} V_{\text{thN1}} - \frac{1}{4} V_{\text{thN}} + \frac{1}{8} V_{\text{DD}}}{1.25}
$$
$$
= \frac{\left(\frac{9}{8} V_{\text{DD}} - V_{\text{in}} + \frac{1}{4}(V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) \right)}{1.25}
$$
最終整理式：
$$
V_{\text{out2}} = \frac{1}{1.25} \left( \frac{9}{8} V_{\text{DD}} - V_{\text{in}} + \frac{1}{4}(V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) \right)
$$
出力ビットD₂の判定（比較電圧 Vcmp との比較）：
$$
D_2 =
\begin{cases}
1 & \text{if } V_{\text{out2}} > V_{\text{cmp}} \
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
✅ 共通設定
- $V_{\text{DD}}$：基準電源電圧
- $V_{\text{cmp}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2}$：コンパレータ閾値
- 比較結果が 1 になる境界電圧 $V_{\text{in}}$ がちょうど $\frac{3}{8} V_{\text{DD}}, \frac{5}{8} V_{\text{DD}}$ になるように設計する
■ MSB生成回路（しきい値 = 1ビット）
整理済み式：
$$
V_{\text{out}} = V_{\text{DD}} - V_{\text{in}}
$$
比較条件：
$$
D_1 =
\begin{cases}
1 & \text{if } V_{\text{out}} > \frac{V_{\text{DD}}}{2} \
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
V_{\text{in}} < \frac{V_{\text{DD}}}{2}
$$
■ MSB生成回路2（1.5ビット構成）
しきい値が $\frac{3}{8} V_{\text{DD}}$, $\frac{5}{8} V_{\text{DD}}$ で反転するように設計するために、出力電圧 $V_{\text{out2}}$ がその境界でちょうど $\frac{V_{\text{DD}}}{2}$ になるように $V_{\text{thN}}$ と $V_{\text{thN1}}$ を決定。
【Vout₂の一般式】（Vth₁ = VDD/2 前提）
$$
V_{\text{out2}} = \frac{1}{1.25} \left( \frac{9}{8} V_{\text{DD}} - V_{\text{in}} + \frac{1}{4}(V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) \right)
$$
この式が
- $V_{\text{in}} = \frac{3}{8} V_{\text{DD}}$ のとき → $V_{\text{out2}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2}$
- $V_{\text{in}} = \frac{5}{8} V_{\text{DD}}$ のとき → $V_{\text{out2}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2}$
になるように設計。
✅ 条件式①：
$$
\frac{1}{1.25} \left( \frac{9}{8} V_{\text{DD}} - \frac{3}{8} V_{\text{DD}} + \frac{1}{4}(V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) \right) = \frac{V_{\text{DD}}}{2}
$$
同様に②：
$$
\frac{1}{1.25} \left( \frac{9}{8} V_{\text{DD}} - \frac{5}{8} V_{\text{DD}} + \frac{1}{4}(V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) \right) = \frac{V_{\text{DD}}}{2}
$$
両辺を比較すると、どちらも同じ結果を持つため、出力がちょうど中央値（VDD/2）になるのは、Vin = 3/8と5/8の中間ではなく、個別のしきい値を設けて3つの状態を定義する必要があります。
したがって、MSB判定に使うには：
- 比較対象を3値に設定（例：00, 01, 10）
- 出力電圧が $> \frac{V_{\text{DD}}}{2}$ のときとそうでないときの境界を利用
■ 最終出力論理（D₂）
入力 $V_{\text{in}}$ に対して次のような判定が得られるよう設計：
| $V_{\text{in}}$ 範囲 | 結果 | $D_1$ | $D_2$ |
|---|---|---|---|
| $V_{\text{in}} < \frac{3}{8} V_{\text{DD}}$ | Low | 1 | 0 |
| $\frac{3}{8} V_{\text{DD}} \le V_{\text{in}} < \frac{5}{8} V_{\text{DD}}$ | Mid | 1 | 1 |
| $V_{\text{in}} \ge \frac{5}{8} V_{\text{DD}}$ | High | 0 | 1 |
必要なしきい値の設計例（出力がVDD/2となるような VthN, VthN1）：
式：
$$
\frac{9}{8} V_{\text{DD}} - V_{\text{in}} + \frac{1}{4}(V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) = 1.25 \cdot \frac{V_{\text{DD}}}{2} = \frac{5}{8} V_{\text{DD}}
$$
ここから逆算して：
$$
\frac{1}{4}(V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) = V_{\text{in}} - \frac{1}{2} V_{\text{DD}}
$$
この差をもとに、任意のVinに対応した $V_{\text{thN}}, V_{\text{thN1}}$ を設計できます。
了解です。「$V_{\text{thN1}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2}$」および「$V_{\text{thN1}} = -\frac{V_{\text{DD}}}{2}$」という2通りの前提を使って、先ほどの条件式：
$$
\frac{1}{4}(V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) = V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2}
$$
から、対応する $V_{\text{thN}}$ をそれぞれ求めて整理します。
✅ ケース1：$V_{\text{thN1}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2}$
$$
\frac{1}{4}\left( \frac{V_{\text{DD}}}{2} - V_{\text{thN}} \right) = V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2}
\Rightarrow \frac{V_{\text{DD}}}{2} - V_{\text{thN}} = 4\left( V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right)
$$
$$
V_{\text{thN}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2} - 4\left( V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right)
= 2.5V_{\text{DD}} - 4V_{\text{in}}
$$
✅ ケース2：$V_{\text{thN1}} = -\frac{V_{\text{DD}}}{2}$
$$
\frac{1}{4}\left( -\frac{V_{\text{DD}}}{2} - V_{\text{thN}} \right) = V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2}
\Rightarrow -\frac{V_{\text{DD}}}{2} - V_{\text{thN}} = 4\left( V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right)
$$
$$
V_{\text{thN}} = -\frac{V_{\text{DD}}}{2} - 4\left( V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right)
= 1.5V_{\text{DD}} - 4V_{\text{in}}
$$
🟨 まとめ表
| ケース | $V_{\text{thN1}}$ | 導出式 for $V_{\text{thN}}$ |
|---|---|---|
| Case 1（正の基準） | $+\frac{V_{\text{DD}}}{2}$ | $V_{\text{thN}} = 2.5V_{\text{DD}} - 4V_{\text{in}}$ |
| Case 2（負の基準） | $-\frac{V_{\text{DD}}}{2}$ | $V_{\text{thN}} = 1.5V_{\text{DD}} - 4V_{\text{in}}$ |
では $V_{\text{th1}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2}$ を代入して、式をさらに整理します。
もとの整理式：
$$
V_{\text{out2}} = \frac{4}{5} \left[
V_{\text{th1}} + \frac{1}{4}V_{\text{thN1}} - V_{\text{in}} + \frac{V_{\text{DD}}}{2} - \frac{1}{4}V_{\text{thN}} + \frac{1}{8}V_{\text{DD}}
\right]
$$
ここに $V_{\text{th1}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2}$ を代入：
$$
V_{\text{out2}} = \frac{4}{5} \left[
\frac{V_{\text{DD}}}{2} + \frac{1}{4}V_{\text{thN1}} - V_{\text{in}} + \frac{V_{\text{DD}}}{2} - \frac{1}{4}V_{\text{thN}} + \frac{1}{8}V_{\text{DD}}
\right]
$$
$V_{\text{DD}}$ 項をまとめる：
$$
\frac{V_{\text{DD}}}{2} + \frac{V_{\text{DD}}}{2} + \frac{1}{8}V_{\text{DD}} = V_{\text{DD}} + \frac{1}{8}V_{\text{DD}} = \frac{9}{8}V_{\text{DD}}
$$
よって：
$$
V_{\text{out2}} = \frac{4}{5} \left[
\frac{9}{8}V_{\text{DD}} - V_{\text{in}} + \frac{1}{4}V_{\text{thN1}} - \frac{1}{4}V_{\text{thN}}
\right]
$$
最終的な式：
$$
V_{\text{out2}} = \frac{4}{5} \left( \frac{9}{8}V_{\text{DD}} - V_{\text{in}} + \frac{1}{4}(V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) \right)
$$
与えられた式：
$$
C_1 \left(V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2}\right) + \frac{C_1}{4} \left(V_{\text{thN}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right) = C_1 \left(V_{\text{th1}} - V_{\text{out2}}\right) + \frac{C_1}{4} \left(V_{\text{thN1}} - V_{\text{out2}} \right)
$$
に対し、
$$
V_{\text{th1}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2}
$$
を代入して整理します。
1. 左辺展開：
$$
C_1 \left(V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2}\right) + \frac{C_1}{4} \left(V_{\text{thN}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right)
= C_1 V_{\text{in}} - C_1 \cdot \frac{V_{\text{DD}}}{2} + \frac{C_1}{4} V_{\text{thN}} - \frac{C_1}{4} \cdot \frac{V_{\text{DD}}}{2}
$$
2. 右辺展開：
$$
C_1 \left(\frac{V_{\text{DD}}}{2} - V_{\text{out2}}\right) + \frac{C_1}{4} \left(V_{\text{thN1}} - V_{\text{out2}} \right)
= C_1 \cdot \frac{V_{\text{DD}}}{2} - C_1 V_{\text{out2}} + \frac{C_1}{4} V_{\text{thN1}} - \frac{C_1}{4} V_{\text{out2}}
$$
3. 両辺を整理：
左辺：
$$
C_1 V_{\text{in}} - \frac{C_1 V_{\text{DD}}}{2} + \frac{C_1}{4} V_{\text{thN}} - \frac{C_1 V_{\text{DD}}}{8}
$$
右辺：
$$
\frac{C_1 V_{\text{DD}}}{2} - C_1 V_{\text{out2}} + \frac{C_1}{4} V_{\text{thN1}} - \frac{C_1}{4} V_{\text{out2}}
$$
4. 両辺から $C_1$ を除去（すべての項に共通）：
左辺：
$$
V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} + \frac{1}{4} V_{\text{thN}} - \frac{V_{\text{DD}}}{8}
= V_{\text{in}} + \frac{1}{4} V_{\text{thN}} - \frac{5}{8} V_{\text{DD}}
$$
右辺：
$$
\frac{V_{\text{DD}}}{2} - V_{\text{out2}} + \frac{1}{4} V_{\text{thN1}} - \frac{1}{4} V_{\text{out2}}
= \frac{V_{\text{DD}}}{2} + \frac{1}{4} V_{\text{thN1}} - \frac{5}{4} V_{\text{out2}}
$$
5. 等式まとめ：
$$
V_{\text{in}} + \frac{1}{4} V_{\text{thN}} - \frac{5}{8} V_{\text{DD}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2} + \frac{1}{4} V_{\text{thN1}} - \frac{5}{4} V_{\text{out2}}
$$
6. 解きたい変数 $V_{\text{out2}}$ に関して解く：
両辺から右辺を移項し、$V_{\text{out2}}$ を解く：
$$
\frac{5}{4} V_{\text{out2}} = \frac{V_{\text{DD}}}{2} + \frac{1}{4} V_{\text{thN1}} - V_{\text{in}} - \frac{1}{4} V_{\text{thN}} + \frac{5}{8} V_{\text{DD}}
$$
$$
\frac{5}{4} V_{\text{out2}} = \left(\frac{V_{\text{DD}}}{2} + \frac{5}{8} V_{\text{DD}}\right) - V_{\text{in}} + \frac{1}{4}(V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}})
$$
$$
\frac{5}{4} V_{\text{out2}} = \frac{9}{8} V_{\text{DD}} - V_{\text{in}} + \frac{1}{4}(V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}})
$$
よって、
$$
V_{\text{out2}} = \frac{4}{5} \left( \frac{9}{8} V_{\text{DD}} - V_{\text{in}} + \frac{1}{4}(V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) \right)
$$
与えられた式：
$$
V_{\text{out2}} = \frac{4}{5} \left( \frac{9}{8} V_{\text{DD}} - V_{\text{in}} + \frac{1}{4}(V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) \right)
$$
を基に、比較対象 $\frac{V_{\text{DD}}}{2}$ と大小を比較して、出力ビット（たとえば $D_1$）を決定したい場合は、次のようにします。
■ 判定条件（比較器による）：
$$
D_1 =
\begin{cases}
1 & \text{if } V_{\text{out2}} > \frac{V_{\text{DD}}}{2} \
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
■ 比較のための不等式：
$$
\frac{4}{5} \left( \frac{9}{8} V_{\text{DD}} - V_{\text{in}} + \frac{1}{4}(V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) \right) > \frac{V_{\text{DD}}}{2}
$$
■ 両辺を5倍して整理：
$$
4 \left( \frac{9}{8} V_{\text{DD}} - V_{\text{in}} + \frac{1}{4}(V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) \right) > \frac{5}{2} V_{\text{DD}}
$$
展開：
$$
\frac{36}{8} V_{\text{DD}} - 4 V_{\text{in}} + (V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) > \frac{5}{2} V_{\text{DD}}
$$
$$
4.5 V_{\text{DD}} - 4 V_{\text{in}} + (V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) > 2.5 V_{\text{DD}}
$$
■ 最終整理：
$$
2.0 V_{\text{DD}} - 4 V_{\text{in}} + (V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) > 0
$$
■ したがって、判定条件は：
$$
D_1 =
\begin{cases}
1 & \text{if } 2.0 V_{\text{DD}} + (V_{\text{thN1}} - V_{\text{thN}}) > 4 V_{\text{in}} \
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
これが、差動補助キャパシタ構成のMSB生成回路における比較器判定条件です。
以下に、サンプルモードとホールドモードにおける電荷保存則（charge conservation law）に基づいた式の物理的意味と構造を整理し、解説します。
⚙️ 前提（回路構成と動作）
- C₁：主キャパシタ
- Vin：入力電圧（サンプリング対象）
- V1：第1ステージの基準電圧または前段出力
- V2：補助キャパシタへの入力
- Vout₂：第2段の出力電圧（求めるもの）
- Vdd：電源基準（中点は Vdd/2）
- C₁/4：補助キャパシタ（分割キャパシタ）
🧮 式（電荷保存則）
サンプルモード終了時（全キャパシタに電荷が蓄積）
$$
Q_{\text{total, sample}} = C_1 \left(V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right) + \frac{C_1}{4} \left(V_1 - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right)
$$
ホールドモード開始時（スイッチ切り替え後）
$$
Q_{\text{total, hold}} = C_1 \left( \frac{V_{\text{DD}}}{2} - V_{\text{out2}} \right) + \frac{C_1}{4} \left( V_2 - V_{\text{out2}} \right)
$$
🔄 電荷保存則（Q_sample = Q_hold）
$$
C_1 \left(V_{\text{in}} - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right) + \frac{C_1}{4} \left(V_1 - \frac{V_{\text{DD}}}{2} \right)
C_1 \left( \frac{V_{\text{DD}}}{2} - V_{\text{out2}} \right) + \frac{C_1}{4} \left( V_2 - V_{\text{out2}} \right)
$$
✅ ポイント解説
- 左辺：サンプルフェーズで各キャパシタに蓄えられた電荷の合計
- 右辺：ホールドフェーズでオペアンプ接続後の電荷の再配置
- 目的：この等式から $V_{\text{out2}}$ を求める（Pythonなどで可能）
Vout2 = (-2⋅V1 + 2⋅V2 + 9⋅Vdd - 8⋅Vin) / 10
はい、以下のように式と条件分岐によって 比較器出力ビット（D2） を得ることができます：
■ 式（再掲）：
$$
V_{\text{out2}} = \frac{-2 \cdot V_1 + 2 \cdot V_2 + 9 \cdot V_{\text{DD}} - 8 \cdot V_{\text{in}}}{10}
$$
■ ビット生成ロジック（比較器動作）：
$$
D_2 =
\begin{cases}
1 & \text{if } V_{\text{out2}} > \dfrac{V_{\text{DD}}}{2} \
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
■ Pythonでの実装例：
# --- パラメータ定義（数値は例） ---
V1 = 0.6 # 補助キャパシタの基準電圧1
V2 = 0.9 # 補助キャパシタの基準電圧2
Vin = 0.8 # 入力アナログ電圧
Vdd = 1.2 # 電源電圧
# --- Vout2 計算 ---
Vout2 = (-2 * V1 + 2 * V2 + 9 * Vdd - 8 * Vin) / 10
# --- D2 ビット生成（比較） ---
D2 = 1 if Vout2 > (Vdd / 2) else 0
# --- 出力 ---
print(f"Vout2 = {Vout2:.3f} V, D2 = {D2}")