AtCoderを始めましたが、ABCのA・B問題はほぼ解ける、C問題は運が良ければ解けるというレベルです。
まずはC問題を難なく解けるというの目標に、まずは過去問のC問題までをどんどんやっていってます。

自力では解けなかった問題を、解説を見て、理解した内容の整理とその結果のコードを書いていきたいと思います。

問題

高橋君は K の倍数と 7 が好きです。
7,77,777,… という数列の中に初めて K の倍数が登場するのは何項目ですか？
存在しない場合は代わりに -1 を出力してください。

解けなかった原因

ループで末尾に７を追加して1桁増やしながら、Kで割れたら桁数を出力して終了させればいいかと思ったが、
以下がわからず行き詰まる。

桁数がどんどん増えていった結果、例えばサンプル3だと10⁹⁹⁹⁹⁸²の桁数の数値をKで割ることになるのは、やめた方がいいのはわかるけど、
じゃあどうすればいいのか

7が1桁増えるということ

・数値*10＋7
　7 → 77 = 7 * 10 + 7
　77 → 777 = 77 * 10 + 7
　777→7777 = 777 * 10 + 7

・Kで割った余りも余り*10＋7
　K=9
　　7 % K = 7
　　77 % K = 5
　　→ (7 * 10 + 7) % K = 5
　　
　　777 % K = 3
　　→ (5 * 10 + 7) % K = 3

・余りの数の法則性
　同じ余りのパターンをぐるぐる回り、1順は最大K回
　K = 6
　7 % K     = 1
　77 % K    = 5
　777 % K   = 3
　7777 % K  = 1
　77777 % K = 5

K = int(input().strip())

a = 7
for i in range(K) :
    b = a%K
    if b == 0 :
        print(i+1)
        exit()

    a = b*10+7
print(-1)