ここに一応書いてある:

このお勧め設定

{
  "type": "node",
  "request": "launch",
  "name": "Debug Serverless Offline",
  "cwd": "${workspaceFolder}",
  "runtimeExecutable": "npm",
  "runtimeArgs": ["run", "debug"],
  "sourceMaps": true
}

を使えば、実行ボタンを押した時に npm run debug が実行されるので package.json に実行スクリプトを書けば良い。この際に

環境変数 SLS_DEBUG=* をセットする。
node --inspect オプションをセットする。

必要があるので package.json の scripts セクションに次のような物を追加すれば良い。

"debug": "SLS_DEBUG=* node --inspect node_modules/serverless/bin/serverless.js offline start",

ここで、--inspect というのは node がデバッグ情報を提供するオプションらしいのだが、なぜか無くても動く(あとで調べる)。なのですでに npm start に起動スクリプトがあれば

"debug": "SLS_DEBUG=* npm start",

でも動く。あと、TypeScript を使っている場合は tsconfig.json に "sourceMap": true, が必要。

{
  "compilerOptions": {
    ...
    "sourceMap": true,
  },
  ...
}

ちなみに、Auto Attach が有効になっている場合(default)、何もしなくてもターミナル内で node を動かせば勝手にデバッガが動き出す。なので sourceMap: true さえあれば npm start だけでもデバッグ自体は可能。ただ微妙に表示が見にくい。

参考