こんにちは。学生LTで関東運営兼代表しています。
すごい苦し紛れにネタを出したので温かい目で見ていただけたら嬉しいです。

####12/13追記
数学はエンジニアリング(?)
間違いがあったら修正お願いします。すぐ対応するので

√2^√2は何？

$\sqrt2^\sqrt2$ってなにと言われてすぐ答えられるでしょうか？
僕は初見では答えられません(￣ー￣)
こいつが何かという証明を今から行ってみましょう。

ゲルフォント＝シュナイダーの定理より\\
\sqrt2^\sqrt2は超越数である。(証明終)

終わりです。ありがとうございました。

#終わらせるな
これで終わりなんて言ったらコメントで怒られてしまいそうなのでしっかりと解説をさせていただきます（間違ってたら教えてください。そして間違えてたらごめんなさい)

##超越数とは

超越数（ちょうえつすう、英: transcendental number）とは、代数的数でない数、すなわちどんな有理係数の代数方程式
${\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0} x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 = 0　　（n ≥ 1 かつ、各 ai は有理数）$
の解（英語版）にもならないような複素数のことである。
(wikipediaより参照)

要するに、代数的数ではない数($f(x)≠0$)だったら超越数ということです。代数的数の説明は次に書きます。

###代数的数とは

代数的数（だいすうてきすう、英: algebraic number）とは、 複素数であって、有理数係数（あるいは同じことだが、分母を払って、 整数係数）の 0 でない一変数多項式の根 （すなわち多項式の値が 0 になるような値）となるものをいう
(wikipediaより参照)

これは、超越数で書いた有利係数の代数方程式
${\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0} x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 = 0　　（n ≥ 1 かつ、各 ai は有理数）$
ある数$x$が$f(x)=0$となれば代数的数となります。

例として$2$は$x-2 = 0$となるので$2$は代数的数です。
今回の$\sqrt2$なら$x^2-2=0$となるので$\sqrt2$は代数的数です。
$\pi$は$f(x)=0$となる$f$がないので$\pi$は超越数となります。

##ゲルフォント＝シュナイダーの定理とは

ゲルフォント＝シュナイダーの定理 (ゲルフォント＝シュナイダーのていり、英: Gel'fond-Schneider's theorem) は、指数関数の値の超越性に関する定理である
(wikipediaより参照)

こちらゲルフォント=シュナイダーの定理は

$α$ を 0, 1 以外の代数的数、$β$ を有理数ではない代数的数としたとき、$ {\displaystyle \alpha ^{\beta }}$ は、超越数である。
という定理です。

$α$ が 0, 1 以外の代数的数というのは、そのまんまの通りで0,1以外の代数的数ということです。$f(x) = 0 (x≠0,1;x\in\mathbb{Q})(\mathbb{Q}は有理数を指している)$

$β$ が有理数ではない代数的数というのもそのまんまの通りで有理数ではない代数的数のことです。
$f(x) = 0(x\in\bar{\mathbb{Q}}\setminus\mathbb{Q})(\bar{\mathbb{Q}}は代数的数を指している, \setminus は右を除くの意味)$

よって今回は$\sqrt2$は0,1以外の代数的数かつ有理数ではない代数的数なのでゲルフォント=シュナイダーの定理を使用することができます。
こうして、$\sqrt2^\sqrt2$は超越数ということがわかりました。これでわかった！スッキリ！！！！！！

#√2って無理数なの？？？
$\sqrt2$をひとよひとよにひとみごろ(1.41421356)と覚えませんでしたか？
循環小数でないので分数に表すことができませんので$\sqrt2$は無理数ですね。
けど本当にそうなのでしょうか？
人類が見つけていないだけで実は割り切れる桁が存在しているかもしれません。
ですので、$\sqrt2$が無理数ということを証明してみましょう。
##背理法を用いた√2が無理数の証明

\sqrt2 が有理数であると仮定する。\\
このとき，互いに素な正の整数 p,q を用いて \sqrt2=\frac{q}{p} とおける。\\

両辺二乗して分母を払うと，2p^2=q^2\\
左辺は 2 の倍数なので q2 は 2 の倍数。よって q は 2 の倍数。\\

すると，q^2 は 4 の倍数になるので，p^2が 2の倍数。よって p も 2 の倍数。\\
これは p と q が互いに素であることに矛盾。\\

(高校数学の美しい物語より参照)

背理法は$ P \Longrightarrow Q$を$P かつ Q$として考えます。こうすると仮定と結論に矛盾が生まれるので証明終了となります。
これで$\sqrt2は$無理数という証明が終了しました。これでやっと$\sqrt2^\sqrt2$が何かわかりましたね！

#まとめ
超越数は代数的数ではない数($f(x)≠0$)。
代数的数はある方程式$f$に対し$f(x)=0$となる数。
今回の$\sqrt2^\sqrt2$が何かの証明はゲルフォント=シュナイダーの定理を使えばOK!!!

すごい苦し紛れでごめんなさい。何か質問がありましたらTwitterまでお願いします。
それでは、良い数学ライフを！