メールドラフト機能をONにして、メールメッセージの承認プロセスを使用している組織で
Apexから申請を出すときの注意点です。
見事にハマったのと検索しても出ないエラーなので書き残しておきます。

大前提

メール-to-ケースの有効化
メールドラフトの有効化

メールドラフトはメール-to-ケースのメールをすぐに送信せず下書きに残して
上長などの承認が得られた際に送信できる機能です。
それぞれの設定方法については以下の記事をご参考ください。

【Salesforce】メール-to-ケースを設定してみた
 【Salesforce】メールドラフトを設定してみた

Apexで申請を出す

メールドラフトを使用するために、メールメッセージの承認プロセスを作成しました。
今回は画面からではなく、Apexで申請を出そうとしました。

仕様：ケース情報でメールメッセージを作成し、メールドラフトの申請を出す

public class MailDraftApprovalLogic {
    public static boolean Submit(Case ca) {
        EmailMessage em = new EmailMessage(
            ParentId = ca.Id,
            ToAddress = ca.SuppliedEmail,
            Subject = '[' + ca.CaseNumber + ']' + ca.Subject,
            TextBody = 'お問い合わせありがとうございます。'
        );
        insert em;
               
        Approval.ProcessSubmitRequest submit =  new Approval.ProcessSubmitRequest();
        submit.setObjectId(em.id);
        submit.setComments('メールドラフト自動生成');
        submit.setProcessDefinitionNameOrId('MailDraftApproval');
        Approval.ProcessResult result = Approval.process(submit);
        return result.isSuccess();
    }
}

とまあ、こんな感じで
テストクラスは普通にSubmit()呼んでやります。

@isTest
private class MailDraftApprovalLogicTest {
    @isTest
    private static void SubmitTest(){
        Case ca = new Case(
            Origin = 'Web',
            Subject = 'テストケース',
            SuppliedName = 'ぴえ太郎',
            SuppliedPhone = '090-1234-5678',
            SuppliedEmail = 'test@piepie.co.jp'
        );
        insert ca;
        
        Test.startTest();
        system.assert(MailDraftApprovalLogic.Submit(ca));
        Test.stopTest();
    }
}

いざ実行！、、

発生したエラー

(´・ω・｀)ﾁｰﾝ

System.DmlException: Process failed. First exception on row 0; first error: INVALID_OPERATION, Submit for approval not allowed.: []

Class.MailDraftApprovalLogic.Submit: line 15, column 1 Class.MailDraftApprovalLogicTest.SubmitTest: line 15, column 1

原因はStatusでした

もうわかったのでアッサリ書きますが
どうやらメールメッセージのステータスを指定していないと3（送信済み）になってしまうようです。
↓は公式リファレンスから失敬したキャプチャ

「参照のみ」なんて書いてあるもんだから代入できないと思って、ずっと違うとこ調べていました。

public class MailDraftApprovalLogic {
    public static boolean Submit(Case ca) {
        EmailMessage em = new EmailMessage(
            ParentId = ca.Id,
            Status = '5',
            ToAddress = ca.SuppliedEmail,
            Subject = '[' + ca.CaseNumber + ']' + ca.Subject,
            TextBody = 'お問い合わせありがとうございます。'
        );
        insert em;
               
        Approval.ProcessSubmitRequest submit =  new Approval.ProcessSubmitRequest();
        submit.setObjectId(em.id);
        submit.setComments('メールドラフト自動生成');
        submit.setProcessDefinitionNameOrId('MailDraftApproval');
        Approval.ProcessResult result = Approval.process(submit);
        return result.isSuccess();
    }
}

ドラフトなのでStatusに'5'を代入してあげればOKです((+_+))

テストも成功です～

参考

承認プロセス
 メールメッセージ