Julia の GLM (v1.1.1) パッケージで使える一般化線形モデルの分布モデルとリンク関数と、推定したモデルに対して使える関数を列挙する。前記事の補足である。
モデリングに際して
自分の持ってるデータに GLM を適用するにあたって、
- 分布モデル：モデリングしたい目的関数の値の型と範囲に合うもの
- リンク関数：データをそれで変換したら線形になりそうなもの、
をそれぞれ選んで、組み合わせられるようなら glm() で指定してモデリングする。今一つピンと来ない時は、試せる組み合わせを全部試す。
使い方
using GLM, RDatasets
dat = RDatasets.dataset("datasets", "iris") # R の iris データ
mod = glm(@formula(SepalLength ~ SepalWidth * Species), # 目的変数と説明変数
dat, # データ
Normal(), # 分布モデル
IdentityLink()) # リンク関数
使える分布モデル
目的関数の値の型と範囲に合い、かつ分布の様子をうまく表せそうなものを選ぶ。
| 分布モデル | 関数名 | 目的変数 | 備考 | ありがちな組み合わせ |
|---|---|---|---|---|
| ベルヌーイ分布 | Bernoulli() | 0か1の二値 | LogitLink | |
| 二項分布 | Binomial() | 0か1の二値 | LogitLink | |
| ガンマ分布 | Gamma() | 非負実数 | InverseLink | |
| 正規分布 | Normal() | 全ての実数 | IdentityLink | |
| ポアソン分布 | Poisson() | 非負整数 | 目的変数の期待値 = 分散 | LogLink |
| 負の二項分布 | NegativeBinomial(θ) | 非負整数 | 期待値 < 分散 | LogLink |
負の二項分布を使いたいがθの値をどうしていいかわからないというときは、glm() の代わりにθの値も推定する negbin() を使う。
使えるリンク関数
リンク関数の選択肢はこんな感じ。もしかしたら「対象となる分布」には Julia では使えないものも混ざっているかもしれないが、GLMパッケージのバージョンアップで対応するかもしれない。
| リンク関数$f(y)$ | 目的変数$y$ | 対象となる分布 | 備考 |
|---|---|---|---|
| CauchitLink() | 0か1の二値 | 二項分布 | |
| CloglogLink() | $0<y<1$ | 二項分布 | $f(y)=\log(-\log(1-y))$ |
| IdentityLink() | 全ての実数 | ポアソン、ガンマ、正規 | 変換しない $f(y) = y$ |
| InverseLink() | 非零の実数 | ガンマ、正規 | $f(y) = 1/y$ |
| InverseSquareLink() | 非零の実数 | 逆正規分布 | $f(y) = 1/y^2$ |
| LogitLink() | 0か1の二値 | ベルヌーイ、二項 | ロジスティックの逆関数 |
| LogLink() | 非負の実数、整数 | 二項、ポアソン、ガンマ、正規 | $f(y) = \log(y)$ |
| NegativeBinomialLink() | 非負で上限のある整数 | 負の二項分布 | $f(y)=\log(y/(y+θ))$、θは指定する |
| ProbitLink() | 非負実数 | 二項分布 | 正規分布の累積分布関数の逆関数 |
| SqrtLink() | 非負実数 | ポアソン | $f(y)=\sqrt{y}$ |
モデルができたら
得られたモデルに対して使える関数には以下のようなものがある。モデルの情報を取り出したり、モデルをもとに計算したりする。
| 関数 | |
|---|---|
| coef() | 線形予測子の係数を返す |
| deviance() | モデルの逸脱度を返す |
| dof_residual() | 残差の自由度を返す |
| glm() | 一般化線形モデルを当てはめて返す |
| lm() | 一般線形モデルを当てはめて返す |
| stderror() | モデルの各係数の標準誤差を返す |
| vcov() | モデルの分散共分散行列を返す |
| predict() | モデルから目的変数の予測値を計算して返す |
また、得られたモデルのオブジェクト内にいくつかフィールドがある。上の関数では見られない値も、フィールドを直接参照したらわかる。glmfit.jl 内で GwtslmResp 構造体に定義されている。モデルのオブジェクトを mod とすると、たとえば逸脱度残差には mod.model.rr.wrkwt でアクセスできる。
| フィールド | 意味 | 型 |
|---|---|---|
| y | 目的変数値 | FPVector |
| d | 分布モデル | UnivariateDistribution |
| devresid | 逸脱度残差 | FPVector |
| eta | 線形予測子の値 | FPVector |
| mu | 予測値（モデルが予測する分布の期待値） | FPVector |
| offset | 線形予測子に加えるオフセット | FPVector |
| wrkwt | 最終的に得られた重み | FPVector |
| wrkresid | 最終的に得られたモデルの残差 | FPVector |