問題
ガンマ分布が正規化されていることを示せ。
解答
(2.146)を積分する。
$\lambda$ = $1/\sigma^2$なので、積分範囲は $\lambda$ $>0$である。
$\int_{0}^{\infty} \operatorname{Gam}(\lambda | a, b)=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\Gamma(a)} b^{a} \lambda^{a-1} \exp (-b \lambda) d \lambda$
$=\frac{1}{\Gamma(a)} \int_{0}^{\infty} b^{a} \lambda^{a-1} \exp (-b \lambda) d \lambda$
（$b \lambda=u$ とおくと、$b d \lambda=d u$ より、）
$=\frac{1}{\Gamma(a)} \int_{0}^{\infty} b^{a}\left(\frac{u}{b}\right)^{a-1} \exp (-u) b^{-1} d u$
$=\frac{1}{\Gamma(a)} \int_{0}^{\infty} b^{a} b^{-1} b^{1-a} u^{a-1} \exp (-u) d u$
$=\frac{1}{\Gamma(a)} \int_{0}^{\infty}u^{a-1} \exp (-u) d u$
$=\Gamma(a)\frac{1}{\Gamma(a)}$
$=1$
よって、題意は証明された。