Pythonで「逐次近似法」を使って方程式を解くプログラムを作成してみた

はじめに

こんにちは！今回はPythonで「逐次近似法(Successive Approximation Method」を使って2次方程式の解を求めてプログラムを紹介します。

逐次近似法とは？

逐次近似法(Successive Approximation Method)とは、非線形方程式の解を近似的に求める方法の1つです。最初に適当な初期値を設定し、その値を用いて繰り返し計算することで、解に収束していくことを期待します。数値計算の分野で、反復的に解を求める手法としてよく用いられます。

実装コード

以下のプログラムでは、2次方程式

ax^2+bx+c=0

の解を2つ異なる方法で求めます。

1.解の公式を使って厳密な解を計算する
→ (solution_of_quadratic_equation 関数)
2.逐次近似法を使って数値的な解を求める
→ (successive_approximations 関数)

from decimal import Decimal

def solution_of_quadratic_equation(a, b, c):
    """ 2次方程式の解を公式を使って求める関数 """
    a = Decimal(a)
    b = Decimal(b)
    c = Decimal(c)
    tmp = (b**2 - 4*a*c).sqrt()
    alpha_ = (-b + tmp) / (2*a)
    beta_ = (-b - tmp) / (2*a)
    return alpha_, beta_

def successive_approximations(a, b, c, x0=0):
    """ 逐次近似法で解を求める関数 """
    a = Decimal(a)
    b = Decimal(b)
    c = Decimal(c)
    return ((-b*x0 - c) / a).sqrt()

使用例

実際に2次方程式

2x^2+x+2=0

を解いてみます。

# 定数項を設定
a = 2
b = 1
c = -2

# 厳密解を計算
alpha_, beta_ = solution_of_quadratic_equation(a, b, c)
print(f"alpha_ = {alpha_}")
print(f"beta_ = {beta_}\n")

# 逐次近似法で解を求める
x_n = -2  # 初期値
for i in range(1, 11):
    x_n = successive_approximations(a, b, c, x_n)
    print(f"x{i} = {x_n}")

実行結果

alpha_ = 0.780776406404415137455352464
beta_ = -1.280776406404415137455352464

x1 = 1.414213562373095048801688724
x2 = 0.5411961001461969843997232055
x3 = 0.8540503204887294624286786226
x4 = 0.7569510154267812783126517302
x5 = 0.7883682466250206356313743134
x6 = 0.7783417480050069125832678413
x7 = 0.7815555808754080822646207510
x8 = 0.7805268794617491959905184153
x9 = 0.7808562993721222468273037687
x10 = 0.7807508247283116873507841482

コードの説明

solution_of_quadratic_equation

2次方程式の解の公式を使用して厳密解を計算しています。Decimal型を使うことで高精度な計算が可能です。

successive_approximations

初期値x0を設定し、逐次近似法を繰り返して解に収束する様子を観察します。
実行結果を見ると、初期値から始まり10回程度の反復で真の解x=1に収束していることが確認できます。

まとめ

今回のプログラムでは、2次方程式の解を逐次近似法で求める方法を紹介しました。逐次近似法は非線形方程式の近似解を求める際に非常に有用で、数字だけでなく物理や工学の分野でもよく使われてます。最後まで読んでくださり、ありがとうございました。もし改善点や質問があれば、ぜひコメントしてください！