[Python]前進差分・後退差分・中心差分で数値微分を求める方法

はじめに

数値微分は、数字や数値解析で重要な手法です。特に前進差分(Forward Difference)、後退差分(Backward Difference)、中心差分(Central Difference)は。数値的に導関数を近似する際に使われます。今回Pythonを用いて、これら3つの差分法を実装し、導関数の近似と誤差を計算する方法を紹介します。

差分法の概要

1. 前進差分(Forward Difference)
   

2. 後退差分(Backward Difference)
   

3. 中心差分(Central Difference)
   

中心差分は精度が高く、誤差が前進差分や後退差分よりも小さくなることが多いです。これらをPythonで実装し、結果を比較します。

実装コード

differential.py

import numpy as np

# 関数 f(x) を定義
def f(x):
    return -x**3 + 3*x + 2

# 前進差分
def forward_difference(x, h):
    return (f(x + h) - f(x)) / h

# 後退差分
def backward_difference(x, h):
    return (f(x) - f(x - h)) / h

# 中心差分
def central_difference(x, h):
    return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)

# 相対誤差を計算
def relative_error(estimated, exact):
    return abs(estimated - exact) / abs(exact)

# 定数
h = 0.1  # 微小量 h
x = 0.5  # 微分点 x
exact_derivative = -3 * x**2 + 3  # 正確な微分値 f'(x)

# 差分法の計算
forward = forward_difference(x, h)
backward = backward_difference(x, h)
central = central_difference(x, h)

# 相対誤差の計算
forward_error = relative_error(forward, exact_derivative)
backward_error = relative_error(backward, exact_derivative)
central_error = relative_error(central, exact_derivative)

# 結果を丸める
forward_rounded = round(forward, 2)
backward_rounded = round(backward, 2)
central_rounded = round(central, 2)
forward_error_rounded = round(forward_error, 3)
backward_error_rounded = round(backward_error, 3)
central_error_rounded = round(central_error, 3)

# 結果の表示
print("(1) 前進差分 f'(0.5):", forward_rounded)
print("(2) 前進差分 ε(0.5):", forward_error_rounded)
print("(3) 後退差分 f'(0.5):", backward_rounded)
print("(4) 後退差分 ε(0.5):", backward_error_rounded)
print("(5) 中心差分 f'(0.5):", central_rounded)
print("(6) 中心差分 ε(0.5):", central_error_rounded)

実行結果

(1) 前進差分 f'(0.5): 2.09  
(2) 前進差分 ε(0.5): 0.071  
(3) 後退差分 f'(0.5): 2.39  
(4) 後退差分 ε(0.5): 0.062  
(5) 中心差分 f'(0.5): 2.24  
(6) 中心差分 ε(0.5): 0.004  

結果の考察

• 前進差分と後退差分の相対誤差はそれぞれ0.071,0.062であり、比較的小さいですが、まだ精度の向上が可能
• 中心差分は誤差が0.004と非常に小さく、精度の高い結果を提供
  これらの結果から、精度が重要な場合は中心差分を使用することが推奨されます。

まとめ

本記事では、Pythonを使った数値微分の3つの差分法を実装し、誤差の比較を行いました。これらの微分方程式を解く際にも重要な基礎知識となりますので、ぜひ他の関数でも試してみてください。最後まで読んでくださり、ありがとうございました。もし改善点や質問があれば、ぜひコメントしてください！