現在開いているチャットの内、画面に描画されている範囲のみ。
developer toolsなどで以下を実行。

(function(user_name){var class_name = $('#_timeLine').find('._speakerName span').filter(function(i,x){ return x.innerText == user_name;})[0].className;
var timeline =  $('#_timeLine').find('.chatTimeLineMessageArea');
var array = timeline.map( function(i,x){ var c= $(x).find('._speakerName span')[0]; return c ? c.className : "" } );
$.each( array, function(i,x){if(x == ""){array[i] = array[i-1];}} )
timeline.map(function(i,el){if( array[i] == class_name) {
console.log( new Date($(el).closest('.chatTimeLineMessageInner').find('._timeStamp').data('tm')*1000 ).toLocaleString()+'\n'+ $(el).find('pre').text()  );
} })})("抜き出す人の氏名");

結果


2013/8/26 12:00:00
こんにちは
2013/8/27 18:00:00
こんばんは

チャット全てのログから抜き出したい場合は、頑張ってスクロールした後に実行するか、
または、秋に出るらしいAPIを待ちましょう。