中点則（数値積分）

中点則とは

• 数値積分の解法の一つ
• 関数$f(x)$において、微小区間$[x_0,x_1]$内の関数値は、区間の中点での関数値で一定であると仮定する

算法

区間$[a,b]$を小区間に$n$等分し、刻幅$h$と分点$x_i$を次のようにする。
$$ h=\frac{b-a}{n}\ ,\ \ x_i=a+\frac{2i+1}{2}h\ ,\ (i=0,1,\cdots,n-1) $$

積分の近似値は、
$$ \int_a^bf(x)=\sum_{i=0}^{n-1}hf(x_i) $$

サンプルコード

$f(x)=\sqrt{1-x^2}$において、区間$[0,1]$の定積分の値を求めるプログラム。
分割数は4。
解析解は$\pi/4$です。

midpoint_rule.c

#include<stdio.h>
#include<math.h>

double f (double x) {
  return sqrt(1-x*x);
}

/* 中点則（区間[a,b]をn分割） */
double midpoint_rule (double a, double b, int n) {
  double h;
  int i;
  double x, value=0;

  h = (b - a) / n;   // 区間幅の計算
  for (i = 0; i < n; i++) {
    x = a + h*(2*i + 1)/2;   // 分点の計算
    value += f(x);
  }
  value = value*h;
  return value;
}

int main (void) {
  printf("Analytical solution: %f\n", M_PI/4);
  printf("Numerical solution : %f\n", midpoint_rule(0, 1, 4));
  return 0;
}

実行結果

Analytical solution: 0.785398
Numerical solution : 0.795982

特徴

• 全区間の誤差
  $$ E=\frac{h^2(b-a)}{24}f^{\prime\prime}(\xi)\ ,\ \ \ (a<\xi<b) $$

• 分割数を倍にすると誤差は$1/4$に減少

• 上記の$\xi$は、台形則のとは違うので、中点則の方が誤差が小さいことを表しているわけではない