はじめに

　今回は実際にシュレディンガー方程式を用いて電子の運動を計算してみます。

2　電子の波動関数

　ここではポテンシャルによるエネルギーが存在しない場合の電子の波動関数を求める。
　前回求めた、時間に依存しないシュレディンガー方程式

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \phi(x)}{dx^2}=E\phi(x)

　を用いる。ここで定数をひとまとめにして、

k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}

　これを用いて

\frac{d^2 \phi(x)}{dx^2}=-k^2\phi(x)

　と言う二階微分方程式を解くことで、波動関数は

\psi(x,t)=Ae^{ikx-i\omega t}+Be^{-ikx-i\omega t}

　ここでωについて

\omega=\frac{E}{\hbar}より\\
\omega=\frac{\hbar k^2}{2m}

　これを波動関数の式に代入することで

\psi(x,t)=Ae^{ik[x-\frac{\hbar k}{2m}t]} + Be^{-ik[x+\frac{\hbar k}{2m}t]}

　A=1,B=0の時eの肩が0となるようなxをx(t)とおくと

x(t)=\frac{\hbar k}{2m}t

　これは平面波の速度を表す。平面波のピーク位置の移動速度のことを位相速度と呼び

v=\frac{\hbar k}{2m}

　またA=1,B=0の時の波動関数について実部と虚部は

Re[\psi(x,t)]=cos(k\left[ x-\frac{\hbar k}{2m}t \right])\\
Im[\psi(x,t)]=sin(k\left[ x-\frac{\hbar k}{2m}t \right])

　E=1.00, 0.25[eV]の時をアニメーションで示してみると、以下のような波形が得られた。