中三くらい知識の人が酒飲みながら「対数って？」のを復習するための記事です。
エンジニアやってる傍らで数学によく出会う。
そんで「対数？logって何だっけ？」ってなった私みたいな人向け。
概念としては2つ覚えておく。そして例として2つ覚えておく。
まとめ
- 記憶の鍵は8って数。（大切）
- 指数はlogで表す。 $ 3 = \log_2{8} $
- 対数関数はグラフありき。 $ f(x)= \log_2{x} $ のグラフを脳内でイメージする。
概念（２つ）
Wikipedia見ながら書いてるから。もしかしたら今後書き足すかも。
指数
$ x = a^p $
これは↓の関係がある。
$ p = \log_a{x} $
2つの式の関係はパッと見て分からないけどこれが対数って概念らしい。
対数関数
$ f_a(xy) = f_a(x)+f_a(y) $
$ f_a(a) = 1 $
を両方満たすものを、
$ f_a(x) = \log_a{x} $
っていう。
「$y$どこ行ったん・・？」って思う人いるよね？
Wikipediaには書いてないけど、
$ f_a(y) = \log_a{y} $
も成り立つんじゃないかなぁと思います。
（行列と違って、交換法則は成り立つはず）
使い方（↑の２つの例）
マジで数式だと覚えらんないから、具体例とか数式で覚えよう
指数
8って数字の素因数を考えると良い
$ 8 = 2^3 $
これをlogを使って書くと
$ 3 = \log_2{8} $
（書いてて思ったけど、8って数字だけ覚えておけば何とか思い出せそうな気がした。）
ここでもうひとつlogの性質
$ 1 = \log_a{a} $
$ \log_a{x}^y = y\log_a{x} $
ってのが、サラッと前の式の中にも隠れているんだよね。
$ \log_2{8} = \log_2{2}^3 = 3\log_2{2} = 3$
対数関数
グラフをイメージしてもらうのが正しいらしい
$ f(x)= y = \log_2{x} $
↑みたいな関数（$ x = 2^y $）があるとしましょう。
ここで、終わっても良いんだけど「で？」で終わるよね？ （私がそうだった）
$ f_a(xy) = f_a(x)+f_a(y) $
って定義に戻ってみて「これ何？」って伏線がまだ残っていると思うんだ。
上のグラフの式に代入してみようぜ
$ f(2×4) = f(2)+f(4) $
ココでな、対数の偉いところグラフから数字が読めるってこと。
$ f(2) = 1 $
$ f(4) = 2 $
$ f(8) = 3 $
うむ。矛盾してない。
$ f(2×4)= 3 = f(2)+f(4) = 1 +2 = 3 $
これはキリのいい数字を入れて例にしているけど、対数グラフが描けていれば（対数関数ならば）出てくる数字が小数でも矛盾はしないよ。
数式描画ツール
https://www.geogebra.org/graphing?lang=ja
↑便利だったなぁ。サラッと使えて。