Vue CLIでプロジェクト作成をしたらErrorになったので、その時の履歴です。
原因はnpmが古すぎて入れられないpackageがあったようです。

Vue CLIでプロジェクト作成

まずはvue/cliをインストール

$ npm install -g @vue/cli

プロジェクトを作成します。ここではchatという名前にしました。

$ vue create chat

オプションは以下を選択

❯ Default (Vue 3 Preview) ([Vue 3] babel, eslint) 
❯ Use NPM

ほかは聞かれなかった気がする
（選ぶものによるのかな）

プロジェクトができたらディレクトリに移動して起動

 $ cd chat
 $ npm run serve

ここでエラーが出ました

 ERROR  Error: Cannot find module 'vue-loader-v16/package.json'

ログを確認

ログを確認すると、警告が出てました。
npmが古いらしい

WARN  You are using an outdated version of NPM.
there may be unexpected errors during installation.
Please upgrade your NPM version.

バージョンを確認。
確かに古い…

$ npm -v
6.4.1
$ node -v
v10.15.3

Nodeのバージョンを上げるとnpmのバージョンも上がるので、Nodeのバージョンをあげます。

私はnodenvを使っているので、nodenvでバージョンを変えます。

$ nodenv versions
  system
* 10.15.3 (set by /Users/okada/.nodenv/version)
  12.19.0
  14.16.0
$ nodenv local 14.16.0

バージョンが変わったことを確認

$ nodenv versions
  system
  10.15.3
  12.19.0
* 14.16.0 (set by /Users/okada/project/chat/.node-version)
$ node -v
v14.16.0
$ npm -v
6.14.11

生成された.node-versionはコミットしておきます。
（あとでどのバージョンで作ったかわかるように）

もう一度インストールしてから起動

$ npm i
$ npm run serve

立ち上がりました