エラー内容

Uncaught TypeError: Cannot add property 0, object is not extensible
    at Array.push (<anonymous>)

配列stateに対してpush（破壊的メソッド）した時にコンソールに出力されます。

const cardsState = atom<string[]>({
  key: AtomKeys.CARDS_STATE,
  default: []
});
const [cards, setCards] = useRecoilState(cardsState);
cards.push['aaa.png']; ← ここでエラー
setCards(cards);

配列stateはミュータブルで破壊的なメソッド（push、spliceなど)を持っています。
しかし、stateを破壊的メソッドで変更すると、元のstateの変更が検知されず再描画されなくなってしまうためエラーになります。
破壊的なメソッドについてや具体的な理由は参考にさせていただいた参考文献をご覧ください。

修正内容

const cardsState = atom<string[]>({
  key: AtomKeys.CARDS_STATE,
  default: []
});
const [cards, setCards] = useRecoilState(cardsState);
setPlayersCards([...cards, 'aaa.png']);

スプレッド演算子で新しい配列としてsetする。
(配列を別配列にコピーしてpushするのもOK)

参考文献

破壊的メソッドとミュータブル・イミュータブル[React,Javascript]