0
0

Delete article

Deleted articles cannot be recovered.

Draft of this article would be also deleted.

Are you sure you want to delete this article?

More than 3 years have passed since last update.

【初心者向け】複素共役(Complex Conjugate)のアニメーション表示について。

Last updated at Posted at 2020-11-13

(2020年11月21日)Rによる投稿。
掲題の複素共役複素共軛, Complex Conjugate)のアニメーション表示については、以前の投稿でこう実装した事もあります。
image.gif


#RD=2角形(Regular Digon)
#Radian=角度(60分割)
RD<-function(Radian){
cx<-seq(-1,1,length=60)
f0<-function(x) sqrt(1-x^2)
cy<-f0(cx)
plot(cx,cy,asp=1,type="l",col=rgb(0,1,0),xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="Complex Conjugate",xlab="X",ylab="sqrt(1-X^2) & -sqrt(1-X^2)")

par(new=T)#上書き指定

plot(cx,-1*cy,asp=1,type="l",col=rgb(1,0,0),xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="")

#緯度(latitude)の描写
lat<-seq(-1,1,length=9)

for(i in lat){
segments(i,f0(i),i,-f0(i),col=c(200,200,200))
}

#経度(Longitude)の描写
lon<-seq(-pi/2,pi/2,length=9)
for(i in lon){

par(new=T)#上書き指定

plot(cx,sin(i)*cy,asp=1,type="l",col=c(200,200,200),xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="")
}
#塗りつぶし

p_max<-15
p0<-seq(pi,0,length=p_max)
px_Hi<-rev(cos(p0))
px_Low<-rev(cos(p0*-1))
py_Hi<-rev(sin(p0))
py_Low<-rev(sin(p0*-1))

#左側インジケータ描画(緑)
polygon(c(px_Hi[1:Radian],px_Low[Radian:1]), #x
c(py_Hi[1:Radian],py_Low[Radian:1]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),     #塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0))  #塗りつぶす色
#右側インジケータ描画(赤)
polygon(c(px_Hi[p_max:Radian],px_Low[Radian:p_max]), #x
c(py_Hi[p_max:Radian],py_Low[Radian:p_max]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),     #塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(1,0,0))  #塗りつぶす色
}
#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(1:15,14:1)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
 RD(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "RD01.gif")

しかしながら以下の投稿によって「観測者問題(ある種の錯視問題)」が浮上してきたので再チャレンジの必要が生じてしまったのです。
【初心者向け】「観測者問題」のあっけない解決方法? - Qiita

#x軸に沿った展開。
要するにCos(θ)+Sin(θ)iの場合ですね。まずはアニメーションさせる関数を準備します。
image.gif


conjugate00<-function(inbetween){

c0<-seq(0,pi*2,length=61)
cx<-cos(c0)
cy<-sin(c0)

plot(cx,cy,type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="Complex Conjugate",xlab="Cos(θ)",ylab="Sin(θ)i", col=rgb(0,1,0))

#複素共役を結ぶ補助線(座標の半分しか使わない)
segments(cos(c0[2:30]+inbetween),sin(c0[2:30]+inbetween),cos(c0[2:30]+inbetween),-sin(c0[2:30]+inbetween),col=c(200,200,200,200))

abline(h=0,col=rgb(1,0,0))
abline(v=0,col=rgb(1,0,0))

# 凡例を書き添える 。
legend("topright", legend=c("Circle(Radius=1,Augment=θ)","x=y=0"), lty =c(1,1),col=c(rgb(0,1,0),rgb(1,0,0)))
}

conjugate00(0)

アニメーション化(x=+1→-1、中割り二枚)
image.gif

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(0,pi/90,pi*2/90,0,pi/90,pi*2/90,0,pi/90,pi*2/90,0,pi/90,pi*2/90)

saveGIF({
for (i in Time_Code){
 conjugate00(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "conjugateX_forward.gif")

アニメーション化(-1→+1、中割り二枚)
image.gif


#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(0,2*pi/90,pi/90,0,2*pi/90,pi/90,0,2*pi/90,pi/90,0,2*pi/90,pi/90)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
 conjugate00(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "conjugateX_back.gif")

アニメーション化(どちらにも見える、中割り一枚)
image.gif

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(0,pi/60,0,pi/60,0,pi/60,0,pi/60)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
 conjugate00(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "conjugateX_even.gif")

そもそも複素共役には「回転の向き」についての情報が欠落してますから、最後の見え方こそが正解なんですね。

#y軸に沿った展開。
今度はSin(θ)+Cos(θ)iの場合ですね。やはりアニメーションさせる関数を準備します。
image.png

conjugate01<-function(inbetween){

c0<-seq(0,pi*2,length=61)
c1<-seq(pi/2,2*pi+pi/2,length=61)
cx<-cos(c0)
cy<-sin(c0)

plot(cx,cy,type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="Complex Conjugate",xlab="Cos(θ)",ylab="Sin(θ)i", col=rgb(0,1,0))

#複素共役を結ぶ補助線(座標の半分しか使わない)

segments(cos(c1[2:30]+inbetween),sin(c1[2:30]+inbetween),-cos(c1[2:30]+inbetween),sin(c1[2:30]+inbetween),col=c(200,200,200,200))

abline(h=0,col=rgb(1,0,0))
abline(v=0,col=rgb(1,0,0))

# 凡例を書き添える 。
legend("topright", legend=c("Circle(Radius=1,Augment=θ)","x=y=0"), lty =c(1,1),col=c(rgb(0,1,0),rgb(1,0,0)))
}

conjugate01(0)

アニメーション化(y=+1→-1、中割り二枚)
image.gif

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(0,pi/90,2*pi/90,0,pi/90,2*pi/90,0,pi/90,2*pi/90,0,pi/90,2*pi/90)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
 conjugate01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "conjugateY_back.gif")

アニメーション化(y=-1→+1、中割り二枚)
image.gif


#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(0,2*pi/90,pi/90,0,2*pi/90,pi/90,0,2*pi/90,pi/90,0,2*pi/90,pi/90)

saveGIF({
for (i in Time_Code){
 conjugate01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "conjugateY_forward.gif")

アニメーション化(どちらにも見える、中割り一枚)
image.gif


#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(0,pi/60,0,pi/60,0,pi/60,0,pi/60)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
 conjugate01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "conjugateY_even.gif")

そう、複素共役は別に軸線に縛られた概念ではないのです。我々が概ね数直線(Number Line)とイメージしている概念の正体が、実は同心円集合(Concentric Circle Set)/同心球面集合(Homocentric Sphere Set)に過ぎない様に…

image.gif
直線y=0を軸線に選ぶとxの値が+1から-1(-1から+1)にかけて推移するのに対して、yの値は決して0以下(0以上)にならない。見え方としては反時計回り。
image.gif
これは円関数集合(Circle Function Set)でいうとCos(θ)+Sin(θ)iに該当する。
image.gif
直線x=0を軸線に選ぶとyの値が+1から-1(-1から+1)にかけて推移するのに対して、xの値は決して0以下(0以上)にならない。見え方としては時計回り。
image.gif
これは円関数集合(Circle Function Set)でいうとSin(θ)+Cos(θ)iに該当する。
image.gif
という事は…

#そして僕は途方に暮れる。

それでは同時に再生してみましょう。アニメーションさせる関数は以下。
image.png


conjugate02<-function(inbetween){

c0<-seq(0,pi*2,length=61)

c1<-seq(pi/2,2*pi+pi/2,length=61)
cx<-cos(c0)
cy<-sin(c0)

plot(cx,cy,type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="Complex Conjugate",xlab="Cos(θ)",ylab="Sin(θ)i", col=rgb(0,1,0))

#複素共役を結ぶ補助線(座標の半分しか使わない)
segments(cos(c0[2:30]+inbetween),sin(c0[2:30]+inbetween),cos(c0[2:30]+inbetween),-sin(c0[2:30]+inbetween),col=c(200,200,200,200))

segments(cos(c1[2:30]+inbetween),sin(c1[2:30]+inbetween),-cos(c1[2:30]+inbetween),sin(c1[2:30]+inbetween),col=c(200,200,200,200))

abline(h=0,col=rgb(1,0,0))
abline(v=0,col=rgb(1,0,0))

# 凡例を書き添える 。
legend("topright", legend=c("Circle(Radius=1,Augment=θ)","x=y=0"), lty =c(1,1),col=c(rgb(0,1,0),rgb(1,0,0)))
}

conjugate02(0)

アニメーション化(x=y=+1→-1、中割り二枚)
image.gif


#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(0,pi/90,2*pi/90,0,pi/90,2*pi/90,0,pi/90,2*pi/90,0,pi/90,2*pi/90)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
 conjugate02(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "conjugateXY_back.gif")

アニメーション化(x=y=-1→+1、中割り二枚)
image.gif


#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(0,2*pi/90,pi/90,0,2*pi/90,pi/90,0,2*pi/90,pi/90,0,2*pi/90,pi/90)

saveGIF({
for (i in Time_Code){
 conjugate02(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "conjugateXY_forward.gif")

アニメーション化(どちらにも見える、中割り一枚)
image.gif

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(0,pi/60,0,pi/60,0,pi/60,0,pi/60)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
 conjugate02(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "conjugateXY_even.gif")

なんじゃこりゃ〜!!(by 松田優作)
ジーパン刑事の「殉職シーン」は上下白のジーパンスタイル セリフはすべてアドリブだった

  • 目を凝らせば確かに「x軸に沿った展開」と「y軸に沿った展開」を抽出して目で追う事が出来る。
  • だが本能が、これがあるべき「x軸に沿った展開」と「y軸に沿った展開」の合成結果ではないと必死に告げてくる。違和感が…違和感が仕事をする!!

「違和感仕事しろ」とは【ピクシブ百科事典】
そう、人間がつい期待してしまうのは、上掲図を「側面図」と見立てた場合の「正面図」に当たる何か。例えばこんな感じの…
【初心者向け】誤差関数(ERF=Error Function)と相補誤差関数 (ERFC=Complementary Error Function)。
アニメーション化(x=y=0→±1、中割り二枚)
image.gif
アニメーション化(x=y=±1→0、中割り二枚)
image.gif
アニメーション化(どちらにも見える、中割り一枚)
image.gif

こういう見え方も存在します。辺縁部が観測原点(Observation Origin)を北極(Arctic)に置いた場合の南極(Antarctic)に該当する、すなわち重力レンズ効果で裏側まで見通せるブラックホールの見え方。ただし「裏側の景色(The Other Side of the World)」は事象の地平線(Event Horizon)に近過ぎてすっかり潰れてしまっているので「誤差(Error)」として視界から切り捨てられてしまうのです。
重力レンズ - Wikipedia
重力レンズとは

アニメーション化(x=y=0→±1、中割り二枚)
image.gif
アニメーション化(x=y=±1→0、中割り二枚)
image.gif
アニメーション化(どちらにも見える、中割り一枚)
image.gif
何故教えてくれなかったんだ、ガウス!!
【無限遠点を巡る数理】無限遠点としての正規分布と分散概念の歴史 - Qiita

#pythonによる実装
(2021年03月20日)Python部分の追加。
無駄に早いぞ、Python!!

##x軸に沿った展開(関数基本部)。

import math as m
import cmath as c
import numpy as num
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

#単位円データ作成
c0=num.linspace(0,2*m.pi,61,endpoint = True)
s0=[]
for nm in range(len(c0)):
    s0.append(complex(m.cos(c0[nm]),m.sin(c0[nm])))
s1=num.array(s0)

#複素共役データ作成

#描画準備
plt.style.use('default')
fig = plt.figure(111)

#関数定義
def Complex_Conjugated_Sphere(n):
    plt.cla()
    #共益線描画
    for nm in range(2,30):
        plt.plot([m.cos(c0[nm]+Time_code[n]),m.cos(c0[nm]+Time_code[n])],[m.sin(c0[nm]+Time_code[n]),-m.sin(c0[nm]+Time_code[n])],color="black",lw=0.5);    
    #円周描画
    plt.plot(s1.real,s1.imag,color="green", label="Unit Cylinder")
    
    plt.ylim([-1.1,1.1])
    plt.xlim([-1.1,1.1])
    plt.title("Complex Conjugated Sphere")
    plt.xlabel("Real")
    plt.ylabel("Imaginal")
    ax = fig.add_subplot()
    ax.set_aspect('equal', adjustable='box')
    ax.legend(loc='upper right')
    #補助線描画
    plt.axvline(0, 0, 1,color="red")
    plt.axhline(0, 0, 1,color="red")

アニメーション化(y=+1→-1、中割り二枚)
output112.gif

Time_code=[0,m.pi/90,2*m.pi/90,0,m.pi/90,2*m.pi/90,0,m.pi/90,2*m.pi/90,0,m.pi/90,2*m.pi/90]
ani = animation.FuncAnimation(fig, Complex_Conjugated_Sphere, interval=50,frames=len(Time_code))
ani.save("output112.gif", writer="pillow")

アニメーション化(x=y=-1→+1、中割り二枚)
output113.gif

Time_code=[0,2*m.pi/90,m.pi/90,0,2*m.pi/90,m.pi/90,0,2*m.pi/90,m.pi/90,0,2*m.pi/90,m.pi/90]
ani = animation.FuncAnimation(fig, Complex_Conjugated_Sphere, interval=50,frames=len(Time_code))
ani.save("output113.gif", writer="pillow")

アニメーション化(どちらにも見える、中割り一枚)
output111.gif

Time_code=[0,m.pi/60,0,m.pi/60,0,m.pi/60,0,m.pi/60]
ani = animation.FuncAnimation(fig, Complex_Conjugated_Sphere, interval=50,frames=len(Time_code))
ani.save("output111.gif", writer="pillow")

##Y軸に沿った展開(関数基本部)。

import math as m
import cmath as c
import numpy as num
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

#単位円データ作成
c0a=num.linspace(0,2*m.pi,61,endpoint = True)
c0=num.concatenate([c0a[15:45],c0a[46:60],c0a[0:16]])
s0=[]
for nm in range(len(c0)):
    s0.append(complex(m.cos(c0[nm]),m.sin(c0[nm])))
s1=num.array(s0)

#複素共役データ作成

#描画準備
plt.style.use('default')
fig = plt.figure(111)

#関数定義
def Complex_Conjugated_Sphere(n):
    plt.cla()
    #共益線描画
    for nm in range(2,30):
        plt.plot([m.cos(c0[nm]+Time_code[n]),-m.cos(c0[nm]+Time_code[n])],[m.sin(c0[nm]+Time_code[n]),m.sin(c0[nm]+Time_code[n])],color="black",lw=0.5);    
    #円周描画
    plt.plot(s1.real,s1.imag,color="green", label="Unit Cylinder")
    
    plt.ylim([-1.1,1.1])
    plt.xlim([-1.1,1.1])
    plt.title("Complex Conjugated Sphere")
    plt.xlabel("Real")
    plt.ylabel("Imaginal")
    ax = fig.add_subplot()
    ax.set_aspect('equal', adjustable='box')
    ax.legend(loc='upper right')
    #補助線描画
    plt.axvline(0, 0, 1,color="red")
    plt.axhline(0, 0, 1,color="red")

アニメーション化(y=+1→-1、中割り二枚)
output115.gif

Time_code=[0,m.pi/90,2*m.pi/90,0,m.pi/90,2*m.pi/90,0,m.pi/90,2*m.pi/90,0,m.pi/90,2*m.pi/90]
ani = animation.FuncAnimation(fig, Complex_Conjugated_Sphere, interval=50,frames=len(Time_code))
ani.save("output116.gif", writer="pillow")

アニメーション化(x=y=-1→+1、中割り二枚)
output116.gif

Time_code=[0,2*m.pi/90,m.pi/90,0,2*m.pi/90,m.pi/90,0,2*m.pi/90,m.pi/90,0,2*m.pi/90,m.pi/90]
ani = animation.FuncAnimation(fig, Complex_Conjugated_Sphere, interval=50,frames=len(Time_code))
ani.save("output116.gif", writer="pillow")

アニメーション化(どちらにも見える、中割り一枚)
output114.gif

Time_code=[0,m.pi/60,0,m.pi/60,0,m.pi/60,0,m.pi/60]
ani = animation.FuncAnimation(fig, Complex_Conjugated_Sphere, interval=50,frames=len(Time_code))
ani.save("output114.gif", writer="pillow")

##XY軸に沿った同心円展開(関数基本部)。

import math as m
import cmath as c
import numpy as num
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

#単位円データ作成
c0=num.linspace(0,2*m.pi,61,endpoint = True)
s0=[]
for nm in range(len(c0)):
    s0.append(complex(m.cos(c0[nm]),m.sin(c0[nm])))
s1=num.array(s0)

#複素共役データ作成

#描画準備
plt.style.use('default')
fig = plt.figure(111)

#関数定義
def sin_scale(x):
    return ((0+1j)**(2*x)).imag
def Complex_Conjugated_Sphere(n):
    plt.cla()
    #共益線描画
    z0=num.linspace(0,1/2,16)
    for nm in z0:
        plt.plot(s1.real*sin_scale(nm+Time_code[n]),s1.imag*sin_scale(nm+Time_code[n]),color="black",lw=0.5);    
    #円周描画
    plt.plot(s1.real,s1.imag,color="green", label="Unit Cylinder")
    
    plt.ylim([-1.1,1.1])
    plt.xlim([-1.1,1.1])
    plt.title("Complex Conjugated Sphere")
    plt.xlabel("Real")
    plt.ylabel("Imaginal")
    ax = fig.add_subplot()
    ax.set_aspect('equal', adjustable='box')
    ax.legend(loc='upper right')
    #補助線描画
    plt.axvline(0, 0, 1,color="red")
    plt.axhline(0, 0, 1,color="red")

アニメーション化(内側→外側、中割り二枚)
output122.gif

Time_code=[0,1/90,2/90,0,1/90,2/90,0,1/90,2/90,0,1/90,2/90]
ani = animation.FuncAnimation(fig, Complex_Conjugated_Sphere, interval=50,frames=len(Time_code))
ani.save("output122.gif", writer="pillow")

アニメーション化(外側→内側、中割り二枚)
output123.gif

Time_code=[0,2/90,1/90,0,2/90,1/90,0,2/90,1/90,0,2/90,1/90]
ani = animation.FuncAnimation(fig, Complex_Conjugated_Sphere, interval=50,frames=len(Time_code))
ani.save("output123.gif", writer="pillow")

アニメーション化(どちらにも見える、中割り一枚)
output121.gif

Time_code=[0,1/60,0,1/60,0,1/60,0,1/60,0,1/60,0,1/60]
ani = animation.FuncAnimation(fig, Complex_Conjugated_Sphere, interval=50,frames=len(Time_code))
ani.save("output121.gif", writer="pillow")

そんな感じで以下続報…

0
0
0

Register as a new user and use Qiita more conveniently

  1. You get articles that match your needs
  2. You can efficiently read back useful information
  3. You can use dark theme
What you can do with signing up
0
0

Delete article

Deleted articles cannot be recovered.

Draft of this article would be also deleted.

Are you sure you want to delete this article?