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層圏トポス: p29の可換性を満たす写像hが連続、すなわち射であることを示す補題

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補題

$X$, $A$, $B$ を位相空間とし、
局所同相写像

f: A \rightarrow X \\
g: B \rightarrow X

が存在するとする。

ここで、写像

$$
h: A \rightarrow B
$$

が存在し、

$$
f = g \circ h
$$

となると仮定する。

このとき、$h$ は連続関数である。

証明

任意の開集合 $W \subset B$ に対して、 $h^{-1}(W) \subset A$ が開集合であれば、 $h$ は連続である。

以下これに従って、 $h$ が連続関数であることを示す。

任意の $z \in h^{-1}(W) \subset A$ について、

$f, g$ が局所同相であることから、

f|_{V'}: V' \rightarrow X_f \\
g|_{W'}: W' \rightarrow X_g

が同相写像となるような
$z$ の近傍 $V' \subset A$
$h(z)$ の近傍 $W' \subset W \subset B$
$f(z) = g(h(z)) \in X$ の近傍 $X_f \subset X$ および $X_g \subset X$
を得ることが出来る。

また、 $X' := X_f \cap X_g $ と置いてやると、

f|_{V''}: V'' \rightarrow X' \\
g|_{W''}: W'' \rightarrow X'

が同相写像(①)となるような $z$ および $h(z)$ の近傍

V'' \subset V' \subset A \\
W'' \subset W' \subset W \subset B

を得ることが出来る。

ここで、①より、 $V''$ と $X'$ と $W''$ が同相であり、

g|_{X'}^{-1}: X' \rightarrow W''

という同相写像がとれるため、

$f = g \circ h$ より $h(V'') = g|_{X'}^{-1}(X') \subset W'' \subset W$

したがって、以上より、

任意の開集合 $W \subset B$ に対して、
任意の点 $z \in h^{-1}(W) \subset A$ について、 $z$ の近傍 $V'' \subset h^{-1}(W)$ を取れるため、
$h^{-1}(W) \subset A$ は開集合であり、$h$ は連続である。

nyango
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