補題
$X$, $A$, $B$ を位相空間とし、
局所同相写像
f: A \rightarrow X \\
g: B \rightarrow X
が存在するとする。
ここで、写像
$$
h: A \rightarrow B
$$
が存在し、
$$
f = g \circ h
$$
となると仮定する。
このとき、$h$ は連続関数である。
証明
任意の開集合 $W \subset B$ に対して、 $h^{-1}(W) \subset A$ が開集合であれば、 $h$ は連続である。
以下これに従って、 $h$ が連続関数であることを示す。
任意の $z \in h^{-1}(W) \subset A$ について、
$f, g$ が局所同相であることから、
f|_{V'}: V' \rightarrow X_f \\
g|_{W'}: W' \rightarrow X_g
が同相写像となるような
$z$ の近傍 $V' \subset A$
$h(z)$ の近傍 $W' \subset W \subset B$
$f(z) = g(h(z)) \in X$ の近傍 $X_f \subset X$ および $X_g \subset X$
を得ることが出来る。
また、 $X' := X_f \cap X_g $ と置いてやると、
f|_{V''}: V'' \rightarrow X' \\
g|_{W''}: W'' \rightarrow X'
が同相写像(①)となるような $z$ および $h(z)$ の近傍
V'' \subset V' \subset A \\
W'' \subset W' \subset W \subset B
を得ることが出来る。
ここで、①より、 $V''$ と $X'$ と $W''$ が同相であり、
g|_{X'}^{-1}: X' \rightarrow W''
という同相写像がとれるため、
$f = g \circ h$ より $h(V'') = g|_{X'}^{-1}(X') \subset W'' \subset W$
したがって、以上より、
任意の開集合 $W \subset B$ に対して、
任意の点 $z \in h^{-1}(W) \subset A$ について、 $z$ の近傍 $V'' \subset h^{-1}(W)$ を取れるため、
$h^{-1}(W) \subset A$ は開集合であり、$h$ は連続である。