院試の各教科の要点まとめ
数学
線形代数
- 固有値、固有ベクトル
- 固有値方程式 $det(\lambda \boldsymbol{I} - \boldsymbol{A}) = 0$を$\lambda$について解く。
- $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$に代入して、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求める。
- 対角化
- 通常の場合
- 固有ベクトルを求める(ex. $\boldsymbol{x_1}, \boldsymbol{x_2}$)。
- 固有ベクトルを横に並べて行列$\boldsymbol{P}$を作る。(ex. $\boldsymbol{P} = ( \boldsymbol{x_1} \boldsymbol{x_2} )$)
- $\boldsymbol{P}$の逆行列$\boldsymbol{P^{-1}}$を計算する。(*$det(\boldsymbol{P}) = 0$の場合は対角化できない)
- $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{P^{-1}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} $として対角化する。
- 実対称行列の直交行列を用いた対角化
- 通常の場合
複素関数
- ローラン展開
「どの点を中心にして」「どの範囲で」展開するかによって変わる。関数をローラン展開した時の、$z^{-1}$の計数が留数であるから、同様に留数の値も変わる。 - 留数定理
C内部にk個の特異点がある場合
$$ \oint_C f(z)dz = 2 \pi i \sum_{j=1}^k Res_{z=z_j} f(z) $$- 留数の求め方（m位の極に対して）
$$ Res_{z=z_0}f(z) = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z \to z_0}\left\{ \frac{ d^{m-1} }{ dz^{m-1} } [(z-z_0)^m f(z)]\right\} $$
特に、単純極（n=1）の場合
\begin{eqnarray}
Res_{z=z_0}f(z) &=& \lim_{z \to z_0}\left[ (z-z_0) f(z)\right] \\
&=& Res_{z=z_0} \frac{ p(z) }{ q(z) } = \frac{ p(z_0) }{ q'(z_0) }
\end{eqnarray}
ただし、$p(z_0)\neq 0$ 。
- 留数の求め方（m位の極に対して）
- ML不等式
$$ \left| \oint_C f(z)dz \right| \leq ML, \ where \ M=const. \ s.t. \left| f(z) \right| \leq M \ and \ L=length \ of \ C$$
力学
剛体の運動
- 慣性モーメント
$$ I = \sum_i m_i d^2_i $$ - 運動方程式
$N$: モーメント
$$ I\dot\omega = N $$ - 運動エネルギー
$$ \frac{1}{2}I\omega^2 $$
解析力学
- ラグランジアン
固体物理学
結晶
原子、分子またはイオンの集団が、空間的に規則正しく周期的に配列した固体
デューロン・プティの経験的法則
室温付近での固体の定積モル比熱は、6 [cal/mol･deg]でほぼ一定である。
アインシュタインモデル
- 結晶格子の振動を調和振動子と見る。
- 調和振動子の振動数がどの原子についても、物質ごとに等しい値$\nu_E$をとると仮定。
- 調和振動子のエネルギーは、$\epsilon_n = h\nu_E/2 + nh\nu_E$
- 振動子の個数の分布がマクスウェル・ボルツマン分布に従うとすると、エネルギーの平均値は
$$ <\epsilon> = \frac{1}{2} h\nu_E + h\nu_E\frac{1}{ e^{ h\nu_E/k_BT } - 1 } $$ - フォノンの数の平均値はプランク分布と同じ形式になる。
$$<n> = \frac{1}{ e^{ h\nu_E/k_BT } - 1 }$$
デバイモデル
アインシュタインモデルでは調和振動子の振動数をすべての原子について等しいとしたが、デバイモデルでは様々な値をとれるとする。
電磁気学
マクスウェル方程式
- ガウスの法則
$$ \boldsymbol{ \nabla }\cdot\boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} $$ - 磁場のガウスの法則
$$ \boldsymbol{ \nabla }\cdot\boldsymbol{B} = 0 $$ - ファラデーの電磁誘導の法則
$$ \boldsymbol{ \nabla } \times \boldsymbol{E} = -\frac{ \partial \boldsymbol{B} }{ \partial t } $$ - アンペール・マクスウェルの法則
$$ \boldsymbol{ \nabla } \times \boldsymbol{B} = \mu_0\boldsymbol{i} + \epsilon_0\mu_0\frac{ \partial \boldsymbol{B} }{ \partial t } $$
ビオ・サバールの法則
$$ d\boldsymbol{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Id\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{r}}{r^3} $$
導体内部の電場
導体内部は電場がなく等電位(電場を打ち消すまで電荷が移動する)。従って、導体に出入りする電気力線は導体表面に対し垂直。
ローレンツ力
$$ \boldsymbol{F} = q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} $$
熱力学・物理化学
ギブズの相律
$$ F = C - P + 2 $$
統計力学
量子力学
シュレディンガー方程式
$$ \hat{H}\psi = i\hbar\frac{d\psi}{dt} $$
$$ \hat{H}\psi = E\frac{d\psi}{dt} $$
$$ \hat{H} = -\frac{ \hbar^2 }{2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + V $$
輸送現象論
無次元数
- レイノルズ数
$$ Re = \frac{\rho uL}{\mu} = \frac{uL}{\nu} = \frac{慣性力}{粘性力}$$ - プラントル数
$$ Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{\mu c_p}{k} = \frac{運動量の伝わりやすさ}{物質の伝わりやすさ}$$ - シュミット数
$$ Sc = \frac{\nu}{D_{AB}} = \frac{\mu}{\rho D_{AB}} = \frac{運動量の伝わりやすさ}{熱の伝わりやすさ}$$ - ヌセルト数
$$ Nu = \frac{hL}{k} = \frac{対流も含めた全体の熱流束}{静止流体での熱流束} $$ - シャーウッド数
$$ Sh = \frac{k_AL}{D_{AB}} = \frac{対流も含めた全体の物質流束}{静止流体での物質流束} $$
$u: 物体の流れに対する相対的な平均速度[m/s]$
$L: 代表長さ（特性長さ）[m]$
$\rho: 流体の密度[kg/m^3]$
$c_p: 定圧比熱[J/K\cdot kg]$
| 運動量輸送 | 熱輸送 | 物質輸送 |
|---|---|---|
| Newtonの粘性法則 $\tau_{yx} = -\mu\frac{du}{dy} = =\nu\frac{d(\rho u)}{dy}$ |
Fourierの熱伝導法則 $q_y = -k\frac{dT}{dy} = -\alpha\frac{d(\rho c_pT)}{dy}$ |
Fickの拡散法則 $n_{A,y} = -D_{AB}\frac{dc_A}{dy} = -c_tD_{AB}\frac{dx_A}{dy}$ |
| $Re$: レイノルズ数 | ||
| $Pr$: プラントル数 | $Sc$: シュミット数 | |
| $Nu$: ヌセルト数 | $Sh$: シャーウッド数 | |
| $\mu: 粘性係数[Pa\cdot s]$ | $k: 熱伝導率[W/m\cdot K]$ | |
| $\nu=\frac{\mu}{\rho}: 動粘性係数[m^2/s]$ | $\alpha=\frac{k}{\rho c_p}: 熱拡散係数[m^2/s]$ | $D_{AB}: 拡散係数[m^2/s]$ |
| $h: 熱移動係数[W/m^2K]$ | $k_A: 物質移動係数[m/s]$ | |
| $\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} + \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla v} = -\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p + \nu\boldsymbol{\nabla}^2\boldsymbol{v} + \boldsymbol{g}$ | $\frac{\partial T}{\partial t} + \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}T = \alpha\boldsymbol{\nabla}^2T + \frac{Q}{\rho c_p}$ | $\frac{\partial c_A}{\partial t} + \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}c_A = D_{AB}\boldsymbol{\nabla}^2c_A + S$ |
バッキンガムのπ定理
物理的な関係式が物理変数を$n$個含み、それらの変数が$k$種類の独立な基本単位を持つならば、その式は元の物理変数で構成される$p = n − k$個の無次元パラメータを含む式と等価である
ナビエ・ストークス方程式
$$ \rho \left(\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} + \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla v}\right)
= - \boldsymbol{\nabla}p + \mu\boldsymbol{\nabla}^2\boldsymbol{v} + \rho\boldsymbol{g}$$