3S法。S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 はいくつ？ #math

問題。次の $S$ の値はいくつだろうか。

$$
S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2
$$

答え。次の計算により求まります。

$$
S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$

上の式を導き出す、3S法というのを紹介します。

たとえば、$n = 5$ として、$S$ の式を変形してみます。

$$
S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2
$$ $$
S = (1) + (2+2) + (3+3+3) + (4+4+4+4) + (5+5+5+5+5)
$$

上の式を下図のように三角形の形に配置します。

この三角形をさらにもう 2 つ用意します。ただし、それぞれを回転させます。

    5              5
   4 5            5 4
  3 4 5          5 4 3
 2 3 4 5        5 4 3 2
1 2 3 4 5      5 4 3 2 1

これら 3 つの三角形を足すと、それぞれの要素は全て 11 となります。

        11
      11  11
    11  11  11
  11  11  11  11
11  11  11  11  11

この三角形の中に 11 はいくつあるでしょうか。1 + 2 + 3 + 4 + 5 個あります。よって、$S$ は次の式で表せます。

$$
3S = 11 \times \frac{5 \times 6}{2}$$ $$
3S = 165$$ $$
S = 55
$$

一般化すると、

$$
3S = (2n+1) \times \frac{n(n+1)}{2}
$$

よって S の式は次のようになります。

$$
S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$

この方法は、3S法と呼ばれるものらしいです。2S法とはガウスが $1 + 2 + \dots + n$ を求めるときに用いた方法。他に、4S法というのもあるようです。

参考: