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二項分布で最尤推定/MAP推定/ベイズ推定をする

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これはなに

問題設定

  • コインの表が出る確率を知りたい(0.7以上ならイカサマと判定する)
  • コインを5回投げたら表3回・裏2回だった
  • 表になる確率は0.75という事前知識がある

最尤推定/MAP推定/ベイズ推定の違い

手法 方法 事前確率の仮定 パラメータ
最尤推定 尤度関数を最大化するパラメータの値を決める 仮定しない 点推定
MAP推定 尤度関数×事前分布を最大化するパラメータの値を決める 仮定する 点推定
ベイズ推定 パラメータの確率分布(事後分布)を決める 仮定する 事後分布

最尤推定について

1回のコイン投げをベルヌーイ分布で定式化します。
確率θで1(表)、確率1-θで0(裏)とすると、「5回試行して3回表が出る確率」は二項分布に従います。
これが尤度関数です。θを入力にとり、確率を出力します。

L(\theta) = {}_5C_3 \theta^3 (1-\theta)^2

θを0から1まで変化させた時の尤度関数は以下のように可視化できます。

python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from scipy.stats import beta, binom
sns.set()

theta = np.linspace(0, 1, 1000)
likelihood = binom.pmf(k=3, n=5, p=theta)

plt.plot(theta, likelihood)
plt.xlabel("Theta")
plt.ylabel("Likelihood")
plt.show()

mle.png

尤度関数を最大化するθを求めます。
以下の式を解くと尤度関数を最大化するθがわかります。

\begin{eqnarray}
\frac{dL(\theta)}{d\theta} &=& 0 \\
10\theta^2(5\theta-3)(\theta-1) &=& 0 \\
\therefore \theta &=& \frac{3}{5}
\end{eqnarray}

尤度関数を最大化するθは対数尤度関数も最大にします。

\ln L(\theta) = \ln ({}_5C_3) + 3\ln (\theta) + 2\ln (1-\theta)

すなわち、以下の式を解いても良いです。

\begin{eqnarray}
\frac{d\ln L(\theta)}{d\theta} &=& 0 \\
\frac{3}{\theta}-\frac{2}{1-\theta} &=& 0 \\
\therefore \theta &=& \frac{3}{5}
\end{eqnarray}

MAP推定について

θの事前分布p(θ)を仮定します。尤度が二項分布に従う時、共役事前分布はベータ分布です。
ベータ分布は2つのパラメータa,bを持ちます。a,bは正の実数です。期待値はa/(a+b)です。
平均が0.75という情報が有るので、a/(a+b)=0.75とおくとa=3bになります。
というわけで、正の実数bに対してBeta(3b, b)という事前分布を仮定します。
b=1, 5, 10, 50の時のBeta(3b, b)の確率密度関数を可視化します。

python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from scipy.stats import beta, binom
sns.set()

bs = [1, 5, 10, 50]
x = np.linspace(0, 1, 1000)
for b in bs:
    plt.plot(x, beta.pdf(x,3*b,b), label=f"b={b}")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Probability density")
plt.legend()
plt.show()

beta.png

事後確率を最大化するθを求めます。
ベイズ則から、事後確率=尤度x事前確率/周辺分布です。
周辺分布はθに依存しないので、事後確率を最大化するθは尤度x事前確率を最大化します。

L(\theta) \times Beta(\theta, 3b, b) = C\theta^{3+3b-1}(1-\theta)^{2+b-1}  (Cは\thetaに依存しない定数)

同様に、事後確率を最大化するθはlog(尤度x事前確率)を最大化します。
以下の式を解くと事後確率を最大化するθがわかります。

\begin{eqnarray}
\frac{\partial \ln \{L(\theta) \times Beta(\theta, 3b, b)\}}{\partial \theta} &=& 0 \\
\frac{3+3b-1}{\theta}-\frac{2+b-1}{1-\theta} &=& 0 \\
\therefore \theta &=& \frac{3b+2}{4b+3}
\end{eqnarray}

b=[1, 100]の時のθの値を可視化します。

python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from scipy.stats import beta, binom
sns.set()

b = np.arange(1,100)
theta = (3*b+2)/(4*b+3)
plt.plot(b, theta)
plt.xlabel("b")
plt.ylabel("theta_map")
plt.show()

map.png

ベイズ推定について

θの事前分布p(θ)をBeta(3b, b)で仮定する所まではMAP推定と同じです。
今回は事前分布にBeta(6,2)を仮定します。
事後確率を最大化するθではなく、事後確率(θの関数)を直接計算します。
事後確率=尤度x事前確率/周辺分布の内、尤度と事前確率は計算済みです。
周辺分布p(D)を求めます。(p(5回試行して3回表が出る)の事です)

\begin{eqnarray}
p(D) &=& \int p(D, \theta)d\theta \\
     &=& \int_{0}^{1} p(D|\theta)p(\theta)d\theta \\
\end{eqnarray} 

尤度x事前分布p(D|θ)xp(θ)、周辺分布p(D)を計算し、事後分布p(θ|D)を求めます。
ここで、B(a, b)はベータ関数で、θに依存しない事を利用しています。また、5C3=10です。

\begin{eqnarray}
p(D|\theta) &=& {}_5C_3 \theta^3 (1-\theta)^2 \\
p(\theta) &=& \frac{\theta^{6-1} (1-\theta)^{2-1}}{B(6, 2)} \\
p(D|\theta)p(\theta) &=& \frac{10}{B(6, 2)} \theta^8 (1-\theta)^3 \\
&=& \frac{10}{B(6, 2)} (\theta^8 - 3\theta^9 + 3\theta^{10} - \theta^{11}) \\
p(D) &=& \int_{0}^{1} p(D|\theta)p(\theta)d\theta \\
&=& \frac{10}{B(6, 2)} \left[\frac{1}{9}\theta^{9} - \frac{3}{10}\theta^{10} + \frac{3}{11}\theta^{11} - \frac{1}{12}\theta^{12}\right]^1_0 \\
&=& \frac{1}{198 B(6, 2)} \\
p(\theta|D) &=& \frac{p(D|\theta)p(\theta)}{p(D)} \\
\therefore p(θ|D) &=& 1980\theta^{8}(1-\theta)^{3}

\end{eqnarray} 

事前分布と事後分布を可視化します。

python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from scipy.stats import beta, binom
sns.set()

theta = np.linspace(0, 1, 1000)
plt.plot(theta, beta.pdf(theta, 6, 2), label="Prior")
plt.plot(theta, 1980*theta**8*(1-theta)**3, label="Posterior") # 丸め誤差があるので本当は愚直に計算しないほうが良い
plt.xlabel("theta")
plt.ylabel("Probability density")
plt.legend()
plt.show()

posterior.png

事後分布をθで積分すると累積分布関数が求まります。
イカサマコインの閾値が0.7なので、θを[0.7, 1]で積分すればイカサマである確率を計算できそうです。

\begin{eqnarray}
\int^{1}_{0.7} p(\theta|D)d\theta &=& 1980\left[\frac{1}{9}\theta^{9} - \frac{3}{10}\theta^{10} + \frac{3}{11}\theta^{11} - \frac{1}{12}\theta^{12}\right]^{1}_{0.7} \\
 &\sim& 0.507

\end{eqnarray} 

約50.7%の確率でイカサマである事がわかりました。

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