携帯だから数式貼れないため言葉による説明で終わるけど。数学科でも難しいと言われているらしいベクトル商空間について。ちょっと嬉しかったので忘れないように書いておこう。見やすい体裁とかは全く。
世の中の"関係"にはいろいろあるけどある線形空間Vとその部分空間Wが存在する時
v ∼ w ⇔v − w ∈ W
として"~"をV上の同値関係ということにする。言い換えるとある二つのベクトルの差分がWに乗ってるときはこの"~"で表そうと言っている。つまり例として"xyzの座標の場合z要素が同じ原点からのベクトルは全て同値だとみなす"みたいな。
次に
V/W ⇔ V/ ∼
と定義。これはただの定義。で問題なのはここで大体の数学書は終わってしまう。ここから先はこの空間の線形性がどうこう言われ始めるのでここだけをテスト前に慌てて100回くらい読んでもわからない。
本当は"V/~"ががなんなのかわかってないから前に戻る必要がある。商集合のところだ。
X / ∼ = { ̄x | x ∈ X }
ただし
̄x = { y ∈ X | x ∼ y }
この定義が超重要。本当はちゃんと順序良く勉強していれば重要もクソもないのだが。
つまり"X / ~ "とかいうのは
xと"同値"なyの集合(その場合xを代表元として ̄xで表す)があることはわかるだろう。そのxが自由に動いたときの各集合、の集合
のことだ。
なんで商空間がわかりにくいかというと、これ議論の前に大体整数に関して商集合が定義される。されてない教科書(僕の❤️)だと死ぬ。例えばmod 3に関して
Z≥0/ ≡ ⇔ {¯0, ¯1, ¯2}
Z≥0 の ≡ による商集合
というようなことが書かれていたりする。
¯0とかは0を代表元とする「3で割った余りが0の集合」のことである。
" / ≡ "というまたしても「”関係”による割り算みたいなの」が出てくるのだが、何やらよくわからんと言って飛ばしてしまうと、後のベクトル商空間が一切わからなくなってしまう。さらに ”/”,”~”など一見見慣れている記号が板書などで示されても”新しい意味”で使われていることがわかりにくいのだ。
あと
V / W = { x+W | x∈V }
とかいう定義を見せられると「え、結局V全部じゃね？」ってなって死ぬ。本当はWが少しずつVの中でずれているという感じだからだ。そのずれ方はVの基底からWの基底を除いたものだ。集合がずらっと並んで結局V全体になっているのがわかるだろうか。ちょっと微妙な説明。
本当はもっと集合について学ぶべきなんだろう。
線形代数：商空間 - 商空間を数学的定義ではなく、噛み砕いた言... - Yahoo!知恵袋
商空間 V/W とは、V における W の効果を０につぶしたものということです
ここまでくるとこの説明というのは納得がいく。Vに対して”~”(つまりWの持つ基底方向に幾ら変化があってもとそれはこの場合において同値なんですよという関係)を適用させることをWの効果(基底)を”つぶす”と表現しているのだろう。
まぁもう蛇足はやめるが色々な説明を統合するとやはり参考書の定義というのが一番簡潔で正しいなっていう気持ちが持てる。
要は線形代数を勉強していて商空間がわからない人は商集合についてまずちゃんと勉強すればわかりますよ、というお話。以上、物覚えが悪いので逆に教える場合役に立てるかなと思った次第。
※若干defのところとか表記が微妙なところあるのでそこはお許しを
※続きません(テストです)
※あと間違ってたら指摘とか是非