初めに

最近コンピュータの動き方について学んでいて、2進数の計算の章に入りました。
その中で、2進数でマイナスの値を求める際は

という方法で求めるということを知り、「？」となりました。
直感では理解できなかったので、「なぜ？」を理解しながらまとめていきます。

※数学は初心者なので細かいことを言えば違うのかもしれないですが、覚えるための理由付けくらいにはなるかなと思います

2進数でマイナスの値を表現する

まずは、2進数のマイナスの表現の仕方をおさらいしましょう。

例）10進数の-6を4桁の2進数で表すと？

以上の知識から、-6は1110になりそう！

・・・と思ったのですが、これは間違いで、正解は1010になります。

冒頭に記載した通り、マイナスの値を求める方法はこちらです。

暗記すればいいっちゃいいのですが、それだと面白くないので、意味を理解してみようと思います。

そもそもプラスとマイナスの関係とはなんでしょうか。
それは、足して0になるということです。
例えば、8と-8や、15と-15など、符号を変えただけの二つの数を足すと0になります。

2進数においてもそれは同じです。

最大桁数がある場合、0はいろんな数で表現することができます。

例として、4桁の2進数で0を表してみましょう。
0は0000で表すことができますが、これだけ見ると0なのか10000なのか、区別がつきません。
つまり、0と10000を同じ数字とみなすことができるのです。

これらの前提を踏まえると、足して10000をつくることができれば、その数は元の数をマイナスにした数と考えることができるということができます。

ということで、改めて2の補数の計算方法を見ていきましょう。
先ほどと同様、10進数の-6を2進数で表してみます。

2進数の6は0110だったため、それを反転した数は1001になります。
元の数と足すと、1111となり、目標である10000には1足りません。

ということで、1を足して10000にしましょう。
1001に1を足すと1010になり、これが2進数における-6になります。

2進数でマイナスの値を求める手順は、足して0を求めるための手順を簡略化したものと言い換えることができる。

ところで、なぜ全ての値を反転させると都合よくなるのでしょうか
10進数で考えてみました。

2進数では、全ての位の値を反転させて元の数と足すと、合計が1111になりました。
これは、10000よりも1少ない数です。

対して、10進数における10000より1少ない数字は9999です。
つまり、2進数における「全ての位の値を反転させる」とは、10進数における9999を作るための手段といえます。

このことから、「全ての位の値を反転させる」とは、n進数の場合に各桁がn-1になるような値を求めると言い換えることができます。

2進数の場合、「全ての位の値を反転させる」ことでそれを満たすことができるので、このように言われるというわけです。

今回は2進数におけるマイナスの数の求め方を学びました。
理由が分かるとすっきりするし、単純暗記よりも記憶に残りますね！

ここまで読んでいただきありがとうございました！