今回は，集合がopen, closed, そしてcompactであるとはどういうことなのかを自分なりに理解したので，メモしておく．Qiitaに書くことではないのかもしれないが，書くのが楽なのでここに書く．こういうのは定義だけ書いてある本が多いですが，イメージが大事だと思うので，そういう感じで書きたいと思います．もし，皆様のお役に立てれば幸いです．
数学的な「開いている（あいている）」のイメージ
まずは，数学的な「開いている」というイメージをつかむことにする．言葉からはなんとなく開放的な感じがする．数学ではこれをおなじみの記号である$<$で表現する（$x < b$みたいな感じで使う）．$<$をみたら，「開いている感」が出てきたらもうイメージはつかめているんだと思う（自分的に）．
さて，なんで$<$が「開いている」に繋がるのかを考えよう．例として，aからbまでの実数の空間を考えよう．ここで，aやbを含めるのかは非常に大事．aもbも含める場合は$[a, b]$，aもbも含めない場合は$(a, b)$，aは含めてbは含めない場合は$[a, b)$と書いたりする．
$[a, b]$と$[a, b)$の違いはなんだろうか？僕的には，前者は壁が中にあって，後者は壁が外にあるみたいなイメージで捉えている．例えば，僕たちがとある世界に住んでいて，その世界のものしか見えないのだとしたら，前者の場合，壁である$b$は見えて，後者の場合は$b$は見えない，つまり壁がないように思える．これが僕なりの数学的な「開いている」のイメージ．$x \in [a, b]$は，$a \leq x \leq b$で，$y \in [a, b)$は，$a \leq y < b$である．こう見ると，住人$x$は壁$b$が見えていることを$x \leq b$で表現し，住人$y$は壁$b$が見えていないことを$y<b$で表現しているように見える．まとめると，後者の世界は，その住人からみたら，「開放的」に見えて，これが数学的な「開いている」というイメージ（自分流）．
open ball
ここまでで，$<$が「開いている」を表現しているのをイメージできただろうか．上に書いたのはあくまでも僕なりのイメージなので，自分なりにイメージできるまで考えてみて欲しいと思う．こういうのはとにかく自分なりに消化するのが大事だと思う．
さて，ここで急に，open ballというものを考えよう．それを考えるには距離空間を導入しないといけないが，ここでは省略して，$d$を距離としよう．ある集合に距離が定義されていれば，その集合の要素同士がどれだけ離れているか（近いか）を表現することができる．余談だが，極限とかで出てくる「近づける」という言葉の数学的な表現も，距離を使って書かれる．こういうのは本にはあまり出てこない辛い．
ボールというのは，丸い．中心と半径があればなんとなく表現できそう．中心を$x$，半径を$\epsilon$とすると，open ballという集合は，
B(x, \epsilon) = \{y \ | \ d(x, y) < \epsilon \}
で定義される．ボールの端っこが含まれていないので，openなボールだ．この定義をみて，直感的に「ああ，確かにopenなボールだわ」と思えたら勝ち．
openな集合（開集合）
open ballを飲み込むと，openな集合を考えることができる．openな集合は「開いている」集合で，端っこが含まれていない集合である．端っこが含まれていないのを表現するのは結構大変で，open ballを使う．集合の中のボールを考えよう．端っこが含まれていると，なんとなく「ボールがはみ出そう」な感じがしないだろうか．このイメージを伝えるのは結構難しい...．openな集合の中の世界の人は，壁が見えないので，そもそも「やべえ，はみ出た」というのがわからない．そんなイメージ．
きちんと数学的に書くと，ある集合$X$を考える．その部分集合$O \subset X$がopenであるとは，全ての$x \in O$に対して，$B(x, \epsilon) \subset O$となる$\epsilon$が存在することである．
こういうのはかなりわかりにくい．僕的には，何が与えられてるのかをまず考える．この例だと$X$が与えられている（実際には距離$d$も）．その上で，その部分集合の性質を考えている．
closedな集合 (閉集合)
これは割とわかりやすい．$X$の部分集合$A \subset X$が閉集合であるとは，その補集合$X \setminus A$がopenであることをいう．全体の世界$X$の中に２つの世界$A$と$X \setminus A$があって，$X \setminus A$がopenなら片方$A$はclosedであることは多分直感的に理解できるはず．はず．はず...．
compactな集合
これはなんか「包むことができる」というイメージ．コンパクトなら包めるだろ，という感じ．
例のごとく集合$X$を考えよう．
適当な$X$のopenな部分集合たち$(O_i)_{i \in I}$を考えよう．
$I$は適当なインデックス．そして，$A \subset X$の性質をみていこう．
ここで気になるのは，適当に用意した$(O_i)_{i \in I}$で$A$を包めるのかということ．
包めるなら，$i_1, \ldots, i_n \in I$が存在して，$A \subset \cup_{j=1}^n O_{i_j}$となるだろう．伝わるかわからないが...．
「存在する」というのは結構わかりにくいかもしれない．でも，そう書かざるを得ない．何かを用意して，それで表現できるみたいな論法は結構使われる．極限とかもそうだ．
まとめ
今回はopen, closed, compactという概念の自分なりのイメージを書いてみた．最後らへんが適当になってしまった感が否めないが，お役に立てれば幸いです．