三角関数の合成の公式が覚えられないっていう人の参考になればいいかなと思うが。
俺も覚えておらず（覚えられず）、その都度導いてるので。
三角関数の値だけは知っておこう。単位円を頭に描くのは重要だと思う。
覚えるというよりはイメージすることが大事な気がする。
次の表の値も詳しく覚えてることはなくて、$\frac{1}{\sqrt{2}}$の箇所以外で
$\frac{\sqrt{3}}{2}$と$\frac12$は単位円で長い方が$\frac{\sqrt{3}}{2}$だねくらいにしか覚えていないので（出てくる数字は5種類しかないし）。
| $\theta$ | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $\theta$ | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ | $\pi$ | 0 | $-1$ | |
| $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{7\pi}{6}(=-\frac{5\pi}{6})$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | |
| $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\frac{5\pi}{4}(=-\frac{3\pi}{4})$ | $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ | |
| $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{4\pi}{3}(=-\frac{2\pi}{3})$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac12$ | |
| $\frac{\pi}{2}$ | $1$ | $0$ | $\frac{3\pi}{2}(=-\frac{\pi}{2})$ | $-1$ | $0$ | |
| $\frac{2\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $\frac{5\pi}{3}(=-\frac{\pi}{3})$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | |
| $\frac{3\pi}{4}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\frac{7\pi}{4}(=-\frac{\pi}{4})$ | $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | |
| $\frac{5\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{11\pi}{6}(=-\frac{\pi}{6})$ | $-\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
例えば、$\sin x +\cos x$を考えると、見方によれば(無理やりだけど)、
加法定理を使える形に持っていけば、
\begin{align*}
\sin x +\cos x &= \sqrt{2} \Big(\sin x\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} +\cos x\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\Big) \\
&= \sqrt{2}(\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x\sin\frac{\pi}{4})\\
&= \sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi}{4})
\end{align*}
のように変形することができるがこれが三角関数の合成。上のは$\sin$の加法定理を意識したから、$\sin \cos + \cos \sin$の形にした。式中の$\sqrt{2}$で括りだしている部分はその結果出てくる数字の2乗和が1になるように調整しているだけ。$\boldsymbol{\sin^2 x + \cos^2 x=1}$という性質あるでしょ。それはつかえるようにしないと。
だからこれは別にこれ一つが答えではなくて、次のように$\cos$の加法定理を軸にしてもよい。
\begin{align}
\sin x +\cos x &=
\sqrt{2} \Big(\cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \sin x\cdot \Big(-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)\Big) \\
&= \sqrt{2} \Big(\cos x \cos \Big(-\frac{\pi}{4}\Big)
- \sin x \sin \Big(-\frac{\pi}{4}\Big)\Big) \\
&= \sqrt{2} \cos \Big(x - \frac{\pi}{4}\Big)
\end{align}
こちらは$\cos$の加法定理を意識して合成した例。この2つの結果を見比べてみると多分新しい公式得られていて、$\sin x = \cos (x-\pi/2)$ってのが成り立つんじゃないかな、この公式覚えてないから合ってるかわからんけど。
このように合成で得られる結果は一意に定まらない。コツとしては見えない部分に先ほどの表中にある同じ行の三角関数の値を入れてみて加法定理使えないかなぁと考えてみるとやりやすいのかもしれない（俺は公式覚えられないから、いつもこうやってる）。大体表中の値しか使えないし、それ以外でも頭使えるようになるし。