npx create-nuxt-appコマンドを利用してNuxtアプリケーションを作成する際、Programming languageをTypeScriptに選択すると初回起動でCannot find module './index.vue?vue&type=script&lang=ts&'というエラーが発生しました。

 ERROR  Failed to compile with 1 errors                                                                      friendly-errors 15:55:56

This relative module was not found:                                                                          friendly-errors 15:55:56
                                                                                                             friendly-errors 15:55:56
* ./index.vue?vue&type=script&lang=ts& in ./pages/index.vue                                                  friendly-errors 15:55:56

✖ Client
  Compiled with some errors in 7.32s

✖ Server
  Compiled with some errors in 7.30s

原因はNuxtアプリケーションを作成するcreate-nuxt-appのバージョンが古かったせいでした。
以下の手順でアップグレードすることで問題解決できました。

# 現在のバージョンを確認する
$ create-nuxt-app -v

create-nuxt-app/3.2.0 darwin-x64 node-v14.5.0

# アップグレードを実行
$ yarn global upgrade create-nuxt-app

# アップグレードできていることを確認
$ create-nuxt-app -v

create-nuxt-app/3.3.0 darwin-x64 node-v14.5.0

create-nuxt-appのアップグレード前と後のpackage.jsonを比較してみると、アップグレード前（3.2.0）のときはバージョン1系の@nuxt/typescript-runtimeがインストールされていました。
一方、アップグレード後（3.3.0）では2系の@nuxt/typescript-runtimeがインストールされていました。

根本的な原因は古いバージョンの@nuxt/typescript-runtimeを利用していたからのようでした。
ですので、yarn add @nuxt/typescript-runtimeで@nuxt/typescript-runtimeのバージョンをアップグレードしてあげれば今回の事象は解決できます。