動機
- 圏論やホモロジー代数などについて書こうとすると図式を自由に書きたくなる
- qiitaで使っている数式ライブラリのMathJaxってどの程度、図式を記載できるのか、試してみたくなった
図を描いてみる
数学では図が重要と思うのだが、qiitaのmathjaxでどの程度書けるのかね？と思い調べていると、
How to draw a commutative diagram というページが見つかったので、そこの例を書けるか試してみた。
図その1
\begin{CD}
K(X) @>{ch}>> H(X;\mathbb Q);\\
@VVV @VVV \\
K(Y) @>{ch}>> H(Y;\mathbb Q);
\end{CD}
ソースは以下。
```math
\begin{CD}
K(X) @>{ch}>> H(X;\mathbb Q);\\
@VVV @VVV \\
K(Y) @>{ch}>> H(Y;\mathbb Q);
\end{CD}
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図その2
次はもうちょっと複雑。
\begin{array}{ccccccccc}
0 & \xrightarrow{i} & A & \xrightarrow{f} & B & \xrightarrow{q} & C & \xrightarrow{d} & 0\\
\downarrow & \searrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow & \searrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow\\
0 & \xrightarrow{j} & D & \xrightarrow{g} & E & \xrightarrow{r} & F & \xrightarrow{e} & 0
\end{array}
ソースは以下。
```math
\begin{array}{ccccccccc}
0 & \xrightarrow{i} & A & \xrightarrow{f} & B & \xrightarrow{q} & C & \xrightarrow{d} & 0\\
\downarrow & \searrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow & \searrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow\\
0 & \xrightarrow{j} & D & \xrightarrow{g} & E & \xrightarrow{r} & F & \xrightarrow{e} & 0
\end{array}
`` `
図その3
\newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!}
\newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.}
%
\begin{array}{llllllllllll}
0 & \ra{f_1} & A & \ra{f_2} & B & \ra{f_3} & C & \ra{f_4} & D & \ra{f_5} & 0 \\
\da{g_1} & & \da{g_2} & & \da{g_3} & & \da{g_4} & & \da{g_5} & & \da{g_6} \\
0 & \ra{h_1} & 0 & \ra{h_2} & E & \ra{h_3} & F & \ra{h_4} & 0 & \ra{h_5} & 0 \\
\end{array}
ソースは以下。
```math
\newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!}
\newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.}
%
\begin{array}{llllllllllll}
0 & \ra{f_1} & A & \ra{f_2} & B & \ra{f_3} & C & \ra{f_4} & D & \ra{f_5} & 0 \\
\da{g_1} & & \da{g_2} & & \da{g_3} & & \da{g_4} & & \da{g_5} & & \da{g_6} \\
0 & \ra{h_1} & 0 & \ra{h_2} & E & \ra{h_3} & F & \ra{h_4} & 0 & \ra{h_5} & 0 \\
\end{array}
`` `
自分で作成した図
それでは、上記サンプルを参考に、自分でも書いてみよう。
自然変換t
\begin{CD}
G(Y) @<{G(f)}<< G(X)\\
@A{t_{Y}}AA @A{t_{X}}AA \\
F(Y) @<{F(f)}<< F(X)
\end{CD}
ソースは以下。
```math
\begin{CD}
G(Y) @<{G(f)}<< G(X)\\
@A{t_{Y}}AA @A{t_{X}}AA \\
F(Y) @<{F(f)}<< F(X)
\end{CD}
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微分形式と鎖群
$X$ を滑らかな多様体とし、$C^{\infty}(X,\Lambda^{k}(X))$を$X$上の滑らかなk-形式全体の集合とする。
また$K$を単体的複体とし、$C^{l}(K)$を$K$の実係数$l$-鎖群の双対空間とする。
ド・ラムの定理で出てきた、外微分 $d$ と境界写像 $\partial$ を使った図をかいてみる。
\begin{array}{ccccccc}
\cdots & \xrightarrow{d} & C^{\infty}(X,\Lambda^{l}(X)) & \xrightarrow{d} & C^{\infty}(X,\Lambda^{l+1}(X)) & \xrightarrow{d} & \cdots \\
& & \downarrow{f_{l}} & & \downarrow{f_{l+1}} & & \\
\cdots & \xrightarrow{\partial^{*}} & C^{l}(K) & \xrightarrow{\partial^{*}} & C^{l+1}(K) & \xrightarrow{\partial^{*}} & \cdots
\end{array}
ソースは以下。
```math
\begin{array}{ccccccc}
\cdots & \xrightarrow{d} & C^{\infty}(X,\Lambda^{l}(X)) & \xrightarrow{d} & C^{\infty}(X,\Lambda^{l+1}(X)) & \xrightarrow{d} & \cdots \\
& & \downarrow{f_{l}} & & \downarrow{f_{l+1}} & & \\
\cdots & \xrightarrow{\partial^{*}} & C^{l}(K) & \xrightarrow{\partial^{*}} & C^{l+1}(K) & \xrightarrow{\partial^{*}} & \cdots
\end{array}
`` `
これなら、完全系列もきれいに書けますね。