フィボナッチ数列の一般項を求める方法

フィボナッチ数列を等比数列として見た場合、その公比を求める方法を示します。

まず公比は次のように定義します。

\begin{eqnarray}
X = \lim_{x \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n-1}}
\end{eqnarray} 

すると

a_n = a_{n-1} + a_{n-2}

なので

\begin{eqnarray}
X = \lim_{x \to \infty} \frac{a_{n-1} + a_{n-2}}{a_{n-1}}
\end{eqnarray} 

と変換出来ます。
これを変換していくと

\begin{eqnarray}
X = 1 + \lim_{x \to \infty} \frac{a_{n-2}}{a_{n-1}}
\end{eqnarray} 

\begin{eqnarray}
X = 1 + \frac{1}{X}
\end{eqnarray} 

X^2 -X -1 = 0

解の公式より

X = \frac{1 ± \sqrt[]{\mathstrut 5}}{2}

基本的にプラスなので

X = \frac{1 + \sqrt[]{\mathstrut 5}}{2}

これの近似は

X = 1.6180339...

となり、これは一般に黄金比と呼ばれます。
つまりフィボナッチ数列の一般項は黄金比であることが証明できます。

Qiitaの数式をどうしても使ってみたかったため書きましたw