下記とにらめっこして Azure Storage に PHP の curl で REST API でファイルをアップロードしてみました。

あらかじめ下記の３つは作成しておいてください。

ストレージアカウント
ストレージコンテナ
ストレージのアクセスキー

アクセスキーは管理ポータルでストレージアカウントを選択した後の画面で、下のほうに項目が現れます。

プライマリとセカンダリで２つありますが使うのはどっちでもいいです。恐らくアクセスキーのローテートのために２つ設けられているのでしょう。

以下のようなコードで REST API でアップロードできます。

Date のタイムゾーンは +0000 だとダメ
- \DateTime::RFC2822 とか "r" とかだとダメ
x-ms-* のヘッダーはコロンの後にスペースがあるとダメ
ストレージアクセスキーは Base64 エンコードされている
- 署名で使うときにはデコードが必要
HMAC は SHA256 です
CanonicalizedResource にはストレージアカウント名も含みます
- URL のパスとは一致しない

<?php
// ストレージアカウント
$account = 'YOUR_STORAGE_ACCOUNT';

// ストレージコンテナ
$container = 'YOUR_STORAGE_CONTAINER';

// ストレージのアクセスキー
$accessKey = 'YOUR_STORAGE_ACCESS_KEY';

$filename = 'sample.txt';
$body = 'php with curl';
$type = 'text/plain';

$headers = [
    'x-ms-blob-type:BlockBlob',
    'x-ms-version:2014-02-14',
];

$date = gmdate('D, d M Y H:i:s T');
$size = strlen($body);

$stringToSign = [
    // VERB
    'PUT',
    // Content-Encoding
    '',
    // Content-Language
    '',
    // Content-Length
    $size,
    // Content-MD5
    '',
    // Content-Type
    $type,
    // Date
    $date,
    // If-Modified-Since
    '',
    // If-Match
    '',
    // If-None-Match
    '',
    // If-Unmodified-Since
    '',
    // Range
    '',
];

$stringToSign = array_merge($stringToSign, $headers, ["/$account/$container/$filename"]);
$stringToSign = implode("\n", $stringToSign);

$signature = base64_encode(hash_hmac('sha256', $stringToSign, base64_decode($accessKey), true));
$authorization = "SharedKey $account:$signature";

$headers = array_merge($headers, [
    "Authorization:$authorization",
    "Date:$date",
    "Content-Type:$type",
    "Content-Length:$size",
]);

$ch = curl_init();

curl_setopt_array($ch, [
    CURLOPT_URL => "https://$account.blob.core.windows.net/$container/$filename",
    CURLOPT_CUSTOMREQUEST => 'PUT',
    CURLOPT_HEADER => true,
    CURLOPT_HTTPHEADER => $headers,
    CURLOPT_POSTFIELDS => $body,
]);

curl_exec($ch);