こちらの公式を使うと良いです。

$R$ を可換環、$x$ を不定元、$f: \mathbb N _ + \rightarrow R$ を関数として、

$$
\sum _ { n \ge 0 } \left ( \sum _ { \mathcal A \vdash [ n ] } \prod _ { A \in \mathcal A } f ( \vert A \vert ) \right ) \frac { x ^ n } { n ! }
= \exp \left ( \sum _ { j \ge 1 } f ( j ) \frac { x ^ j } { j ! } \right )
$$

が成り立ちます。

証明

集合 $[n]$ の分割 $\mathcal A$ に対して、その要素数を降順に並べてできる自然数 $n$ の分割 $\lambda$ を対応させます。$\lambda _ i = j$ となる $i$ の個数を $m _ j$ と置くことにすると、この対応は、置換群 $\mathfrak S _ n$ の $[n]$ への作用の $\mathcal A$ における固定化部分群を考えると、$n ! / { \prod _ { j \ge 1 } j ! ^ { m _ j } m _ j ! }$ 対 $1$ 写像であることがわかります。

さらに、有限な長さ $l$ を持つ正整数列 $a \in \mathbb N _ + ^ l$ に対して、それを降順ソートしてできる自然数 $n$ の分割 $\lambda$ を対応させます。この対応は、置換群 $\mathfrak S _ l$ の $\mathbb N _ + ^ l$ への作用の $a$ における固定化部分群を考えると、$l ! / { \prod _ { j \ge 1 } m _ j ! }$ 対 $1$ 写像であることがわかります。

これにより $\mathcal A$ 添字な和を $a$ 添字な和にまとめ直すと、これは $n ! / { l ! \prod _ { j \ge 1 } j ! ^ { m _ j } }$ 対 $1$ 対応になります。すなわち、

$$
( \mathrm { LHS } )
= \sum _ { l \ge 0 } \frac 1 { l ! } \sum _ { a \in \mathbb N _ + ^ l } \prod _ { j \ge 1 } \frac { f ( j ) x ^ j } { j ! }
$$

となります。これを因数分解して $\exp$ でまとめると、右辺に等しくなります。

ベル数

公式に $f ( j ) = 1 \ ( j \ge 1 )$ を代入すると良いです。すると、ベル数の指数型母関数はつぎのようになります。

$$
\sum _ { n \ge 0 } B _ n \frac { x ^ n } { n ! }
= \exp \left ( \sum _ { j \ge 1 } \frac { x ^ j } { j ! } \right )
= e ^ { e ^ x - 1 }
$$

Wikipedia - ベル数をご覧いただくと、この結果も書いてあります。